与えられた問題は、主に組み合わせと順列に関するものです。具体的には、以下の5つの問題が含まれています。 (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から3個を選んで3桁の自然数を作る場合の数を求める。 (2) 上記の条件で、偶数となる場合の数を求める。 (3) 男子2人（a, b）と女子4人（A, B, C, D）が1列に並ぶとき、両端が男子となる並び方の数を求める。 (4) 上記の条件で、男子aと女子Aが隣り合う並び方の数を求める。 (5) 父、母、子供3人の5人家族が丸いテーブルの周りに座る座り方の数を求める。 (6) 上記の条件で、両親が隣り合って座る座り方の数を求める。 (7) 男子5人、女子5人の中から4人の委員を選ぶ選び方の数を求める。 (8) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方の数を求める。 (9) 男子から少なくとも1人選ぶ選び方の数を求める。 (10) 6人の生徒を3人ずつの2組に分ける分け方の数を求める。 (11) 10人の生徒を5人ずつの2組に分ける時、特定の2人が同じ組にならないような分け方の数を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、主に組み合わせと順列に関するものです。具体的には、以下の5つの問題が含まれています。

(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から3個を選んで3桁の自然数を作る場合の数を求める。

(2) 上記の条件で、偶数となる場合の数を求める。

(3) 男子2人（a, b）と女子4人（A, B, C, D）が1列に並ぶとき、両端が男子となる並び方の数を求める。

(4) 上記の条件で、男子aと女子Aが隣り合う並び方の数を求める。

(5) 父、母、子供3人の5人家族が丸いテーブルの周りに座る座り方の数を求める。

(6) 上記の条件で、両親が隣り合って座る座り方の数を求める。

(7) 男子5人、女子5人の中から4人の委員を選ぶ選び方の数を求める。

(8) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方の数を求める。

(9) 男子から少なくとも1人選ぶ選び方の数を求める。

(10) 6人の生徒を3人ずつの2組に分ける分け方の数を求める。

(11) 10人の生徒を5人ずつの2組に分ける時、特定の2人が同じ組にならないような分け方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数を作る場合

- 百の位は0以外なので、5通りの選び方があります。

- 十の位は百の位で選んだ数と0以外の数から選ぶので、5通りの選び方があります。

- 一の位は百の位と十の位で選んだ数以外の数から選ぶので、4通りの選び方があります。

- したがって、$5 \times 5 \times 4 = 100$ 通りとなります。

(2) 3桁の偶数を作る場合

- 一の位が偶数(0, 2, 4)の場合を考えます。

- 一の位が0のとき、百の位は1~5の5通り、十の位は残りの4通りなので、$5 \times 4 = 20$ 通り。

- 一の位が2または4のとき、百の位は0, 2, 4を除いた4通り（0を除く）、十の位は残りの4通りなので、$2 \times 4 \times 4 = 32$ 通り。

- よって、$20 + 32 = 52$ 通りとなります。

(3) 両端が男子の場合

- 両端の男子の選び方は $2 \times 1 = 2$ 通り。

- 残りの4人の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

- したがって、$2 \times 24 = 48$ 通り。

(4) aとAが隣り合う場合

- aとAをひとまとめにして考えると、5人（aA, B, C, D, b または Aa, B, C, D, b）の並び方を考えます。

- aとAの並び方は2通り（aA, Aa）。

- 5人(aA or Aa, B, C, D, b)の並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

- したがって、$2 \times 120 = 240$ 通り。

(5) 円順列

- 5人の円順列なので、$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

(6) 両親が隣り合う円順列

- 両親をひとまとめにして考えると、4人（両親, 子供1, 子供2, 子供3）の円順列。

- $(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

- 両親の並び方は2通り。

- したがって、$6 \times 2 = 12$ 通り。

(7) 委員の選び方

- 10人から4人を選ぶので、${10 \choose 4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ 通り。

(8) 男子2人、女子2人を選ぶ場合

- 男子5人から2人を選ぶのは ${5 \choose 2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

- 女子5人から2人を選ぶのも ${5 \choose 2} = 10$ 通り。

- したがって、$10 \times 10 = 100$ 通り。

(9) 男子から少なくとも1人選ぶ場合

- 全体から女子のみ選ぶ場合を引く。

- 全体の選び方は ${10 \choose 4} = 210$ 通り（(7)より）。

- 女子のみ4人選ぶのは ${5 \choose 4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$ 通り。

- したがって、$210 - 5 = 205$ 通り。

(10) 3人ずつの2組に分ける場合

- 6人から3人を選ぶと残りの3人で1つの組ができるので、${6 \choose 3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

- ただし、同じ人数の組なので2組の区別がないので、2で割る必要がある。

- $20/2 = 10$ 通り。

(11) 特定の2人が同じ組にならない場合

- まず、10人を5人ずつの2組に分ける総数を計算する。

- ${10 \choose 5} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ 通り。

- 組の区別がないので、2で割る必要がある。　$252 / 2 = 126$ 通り。

- 次に、特定の2人が同じ組になる場合の数を計算する。

- 特定の2人が同じ組に入るので、残りの3人を8人から選ぶことになる。${8 \choose 3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

組の区別がないので、2で割る必要がない

- 特定の2人が同じ組にならない場合は、$126 - 56 = 70$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 48通り

(4) 240通り

(5) 24通り

(6) 12通り

(7) 210通り

(8) 100通り

(9) 205通り

(10) 10通り

(11) 70通り