問題は全部で5つあり、それぞれ場合の数、順列、組合せに関する問題です。 (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 つの数字から 3 つを選んで 3 桁の自然数を作る時、可能な数は全部でいくつあるか。 (2) 上記(1)において、可能な偶数は全部でいくつあるか。 (3) 男子 a, b の 2 人と、女子 A, B, C, D の 4 人が 1 列に並ぶ時、両端が男子になる並び方は何通りあるか。 (4) 上記(3)において、a と A が隣り合う並び方は何通りあるか。 (5) 父、母、子供 3 人の 5 人家族が、丸いテーブルの周りに座る時、可能な並び方は全部で何通りあるか。 (6) 上記(5)において、両親が隣り合う並び方は何通りあるか。 (7) 男子 5 人、女子 5 人の中から 4 人の委員を選ぶ時、可能な選び方は全部で何通りあるか。 (8) 上記(7)において、男子から 2 人、女子から 2 人選ぶ選び方は何通りあるか。 (9) 上記(7)において、男子から少なくとも 1 人は選ぶ選び方は何通りあるか。 (10) 6 人の生徒を 3 人ずつの 2 組に分ける分け方は何通りあるか。 (11) 10 人の生徒を 5 人ずつの 2 組に分ける時、特定の 2 人が同じ組にならないような分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は全部で5つあり、それぞれ場合の数、順列、組合せに関する問題です。

(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 つの数字から 3 つを選んで 3 桁の自然数を作る時、可能な数は全部でいくつあるか。

(2) 上記(1)において、可能な偶数は全部でいくつあるか。

(3) 男子 a, b の 2 人と、女子 A, B, C, D の 4 人が 1 列に並ぶ時、両端が男子になる並び方は何通りあるか。

(4) 上記(3)において、a と A が隣り合う並び方は何通りあるか。

(5) 父、母、子供 3 人の 5 人家族が、丸いテーブルの周りに座る時、可能な並び方は全部で何通りあるか。

(6) 上記(5)において、両親が隣り合う並び方は何通りあるか。

(7) 男子 5 人、女子 5 人の中から 4 人の委員を選ぶ時、可能な選び方は全部で何通りあるか。

(8) 上記(7)において、男子から 2 人、女子から 2 人選ぶ選び方は何通りあるか。

(9) 上記(7)において、男子から少なくとも 1 人は選ぶ選び方は何通りあるか。

(10) 6 人の生徒を 3 人ずつの 2 組に分ける分け方は何通りあるか。

(11) 10 人の生徒を 5 人ずつの 2 組に分ける時、特定の 2 人が同じ組にならないような分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 3 桁の自然数を作るので、百の位は 0 以外の 5 通り。十の位は百の位で使った数字以外なので 5 通り。一の位は百の位、十の位で使った数字以外なので 4 通り。よって、 $5 \times 5 \times 4 = 100$ 通り。

(2) 一の位が偶数の場合を考える。

一の位が 0 のとき、百の位は 5 通り、十の位は 4 通りなので、 $5 \times 4 = 20$ 通り。

一の位が 2 または 4 のとき、百の位は 0 以外の 4 通り、十の位は 4 通りなので、$2 \times 4 \times 4 = 32$ 通り。

よって、$20 + 32 = 52$ 通り。

(3) 両端が男子なので、両端の並び方は $2 \times 1 = 2$ 通り。残りの 4 人の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。よって、$2 \times 24 = 48$ 通り。

(4) a と A を一組と考えて、残りの 4 人と合わせて 5 つの並び方を考える。a と A の並び方は $2! = 2$ 通り。5 つの並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。よって、$2 \times 120 = 240$ 通り。

(5) 円順列なので、$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

(6) 両親をひとまとめにして、4 人の円順列を考える。$(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。両親の並び方は $2! = 2$ 通り。よって、$6 \times 2 = 12$ 通り。

(7) 10 人から 4 人を選ぶので、$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ 通り。

(8) 男子 5 人から 2 人を選ぶのは $_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。女子 5 人から 2 人を選ぶのは $_{5}C_2 = 10$ 通り。よって、$10 \times 10 = 100$ 通り。

(9) 全体から男子が 0 人の場合を引けばよい。全体は $_{10}C_4 = 210$ 通り。男子が 0 人、つまり女子 4 人を選ぶのは $_{5}C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$ 通り。よって、$210 - 5 = 205$ 通り。

(10) 6 人から 3 人を選ぶのは $_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。ただし、3 人ずつ 2 組に分けるので、同じ分け方が 2 回カウントされている。よって、$20 / 2 = 10$ 通り。

(11) 全体の分け方は $_{10}C_5 / 2 = \frac{10!}{5!5!} / 2= (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6)/(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) /2 = 252 / 2= 126$通り。特定の 2 人が同じ組になる分け方は、残り 8 人から 3 人を選ぶ分け方なので $_{8}C_3 = \frac{8!}{3!5!} = (8 \times 7 \times 6)/(3 \times 2 \times 1) = 56$通り。求める分け方は $126 - 56 = 70$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 48通り

(4) 240通り

(5) 24通り

(6) 12通り

(7) 210通り

(8) 100通り

(9) 205通り

(10) 10通り

(11) 70通り