全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$ について、次の集合を求めます。 (2) $A \cup B \cup C$ (3) $A \cap B \cap \overline{C}$ (4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$ (5) $A \cap \overline{B} \cap C$ (6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$ について、次の集合を求めます。

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$

(5) $A \cap \overline{B} \cap C$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(2) $A \cup B \cup C$ は、集合A, B, Cのすべての要素を含む集合です。

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$ は、A, Bに属し、Cに属さない要素の集合です。

まず$\overline{C}$を求めます。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ より、

$\overline{C} = U - C = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

$A \cap B = \{3, 4\}$

$(A \cap B) \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$ は、Aに属さず、Bに属し、Cに属さない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

$\overline{A} \cap B = \{5, 6\}$

$(\overline{A} \cap B) \cap \overline{C} = \{5\}$

(5) $A \cap \overline{B} \cap C$ は、Aに属し、Bに属さず、Cに属する要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 8\}$

$(A \cap \overline{B}) \cap C = \{2\}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$ は、AまたはCに属し、Bに属さない要素の集合です。

$A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

$(A \cup C) \cap \overline{B} = \{1, 2, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

(2) $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C} = \{5\}$

(5) $A \cap \overline{B} \cap C = \{2\}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B} = \{1, 2, 7, 8\}$