1個のサイコロを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。以下の2つの問いに答える。 (1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。 (2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。以下の2つの問いに答える。

(1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。

(2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4以上の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$である。

Xは二項分布 $B(8, \frac{1}{2})$に従う。

$P(X=k) = {}_8 C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{8-k} = {}_8 C_k (\frac{1}{2})^8$

求める確率は、$P(X \ge 3)$である。

$P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

$P(X=0) = {}_8 C_0 (\frac{1}{2})^8 = 1 \cdot (\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{256}$

$P(X=1) = {}_8 C_1 (\frac{1}{2})^8 = 8 \cdot (\frac{1}{2})^8 = \frac{8}{256}$

$P(X=2) = {}_8 C_2 (\frac{1}{2})^8 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot (\frac{1}{2})^8 = 28 \cdot (\frac{1}{2})^8 = \frac{28}{256}$

$P(X \ge 3) = 1 - (\frac{1}{256} + \frac{8}{256} + \frac{28}{256}) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{256-37}{256} = \frac{219}{256}$

(2) 期待値 $E(X)$と標準偏差 $\sigma(X)$を求める。

二項分布 $B(n,p)$ において、$E(X) = np$ , $V(X) = np(1-p)$ , $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

$E(X) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$V(X) = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\sigma(X) = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{219}{256}$

(2) 期待値: 4, 標準偏差: $\sqrt{2}$