与えられたデータ $7, 4, 2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, a$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は0以上の整数とします。 (1) $a$ の値がわからないとき、このデータの中央値として何通りの値があり得るか。 (2) このデータの平均値が5のとき、このデータの中央値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられたデータ $7, 4, 2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, a$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は0以上の整数とします。

(1) $a$ の値がわからないとき、このデータの中央値として何通りの値があり得るか。

(2) このデータの平均値が5のとき、このデータの中央値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられたデータを小さい順に並べます (ただし、$a$ の位置は不明)。

$1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8$

データ数は10個なので、中央値は小さい方から5番目と6番目の値の平均になります。

$a$ の値によって中央値が変わり得るので、いくつかの場合に分けて考えます。

* $a \le 4$ のとき、データは $1, 2, a, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8$ となり、並び替えると $a, 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8$ となります。中央値は $(4+5)/2 = 4.5$ です。

* $4 < a \le 5$ のとき、データは $1, 2, 4, 4, 5, a, 6, 7, 7, 8$ となり、並び替えると $1, 2, 4, 4, 5, a, 6, 7, 7, 8$ となります。中央値は $(5+a)/2$ です。$a=5$のとき中央値は5になります。

* $5 < a \le 6$ のとき、データは $1, 2, 4, 4, 5, 6, a, 7, 7, 8$ となり、並び替えると $1, 2, 4, 4, 5, 6, a, 7, 7, 8$ となります。中央値は $(5+6)/2 = 5.5$ です。

* $6 < a \le 7$ のとき、データは $1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, a, 7, 8$ となり、並び替えると $1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, a, 7, 8$ となります。中央値は $(5+6)/2 = 5.5$ です。

* $a > 7$ のとき、データは $1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, a$ となり、並び替えると $1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, a$ となります。中央値は $(5+6)/2 = 5.5$ です。

$a=0, 1, 2, 3, 4$の時、中央値は4.

5. $a=5$の時、中央値は

5. $a=6, 7, 8, ...$ の時、中央値は5.

5.

あり得る中央値は4.5, 5, 5.5 の3通りです。

(2)

データの平均が5なので、

$\frac{7+4+2+7+5+8+1+4+6+a}{10} = 5$

$44 + a = 50$

$a = 6$

このとき、データは $7, 4, 2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 6$ となります。

小さい順に並べると $1, 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8$ となります。

中央値は $(5+6)/2 = 5.5$ です。

3. 最終的な答え

(1) 3通り

(2) 5.5