20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均は3、分散は4。残りの12個の値の平均は8、分散は9である。このとき、以下の問いに答える。 (1) このデータの平均を求めよ。 (2) このデータの分散を求めよ。

## 問題7

1. 問題の内容

20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均は3、分散は4。残りの12個の値の平均は8、分散は9である。このとき、以下の問いに答える。

(1) このデータの平均を求めよ。

(2) このデータの分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) データの平均

全体の平均を求めるには、各グループの平均と個数を使って加重平均を計算します。

まず、8個のデータの合計値を計算します。平均が3なので、合計は $8 \times 3 = 24$です。

次に、12個のデータの合計値を計算します。平均が8なので、合計は $12 \times 8 = 96$です。

全体の合計は$24 + 96 = 120$です。

全体のデータ数は20個なので、全体の平均は $120 \div 20 = 6$です。

(2) データの分散

全体の分散を求めるには、次の公式を利用します。

全体の分散 = (n1 * (s1^2 + (x1 - x)^2) + n2 * (s2^2 + (x2 - x)^2) ) / (n1 + n2)

ここで、

n1 = 8 (最初のグループのデータ数)

s1^2 = 4 (最初のグループの分散)

x1 = 3 (最初のグループの平均)

n2 = 12 (次のグループのデータ数)

s2^2 = 9 (次のグループの分散)

x2 = 8 (次のグループの平均)

x = 6 (全体の平均)

上記の値を公式に代入すると：

全体の分散 = $(8 \times (4 + (3-6)^2) + 12 \times (9 + (8-6)^2)) / 20$

= $(8 \times (4 + 9) + 12 \times (9 + 4)) / 20$

= $(8 \times 13 + 12 \times 13) / 20$

= $(104 + 156) / 20$

= $260 / 20$

= 13

3. 最終的な答え

(1) 平均: 6

(2) 分散: 13