ある電器店では、同じ製品を複数の会社から仕入れています。A社から仕入れた製品が不良品である確率は3%で、A社以外の製品が不良品である確率は7%です。A社からの仕入れは製品全体の60%です。 (1) 製品の中から任意に1個抜き取ったとき、それが不良品である確率を求めます。 (2) 不良品であったとき、それがA社の製品である確率を求めます。

1. 問題の内容

ある電器店では、同じ製品を複数の会社から仕入れています。A社から仕入れた製品が不良品である確率は3%で、A社以外の製品が不良品である確率は7%です。A社からの仕入れは製品全体の60%です。

(1) 製品の中から任意に1個抜き取ったとき、それが不良品である確率を求めます。

(2) 不良品であったとき、それがA社の製品である確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不良品である確率を求める

まず、事象を定義します。

* A：製品がA社製である

* B：製品が不良品である

与えられた情報は以下の通りです。

* $P(A) = 0.60$ (A社から仕入れる確率)

* $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40$ (A社以外から仕入れる確率)

* $P(B|A) = 0.03$ (A社製の製品が不良品である確率)

* $P(B|\overline{A}) = 0.07$ (A社製以外の製品が不良品である確率)

求めるのは、$P(B)$ (製品が不良品である確率) です。

これは、全確率の法則を使って計算できます。

$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})$

与えられた値を代入します。

$P(B) = (0.03)(0.60) + (0.07)(0.40)$

$P(B) = 0.018 + 0.028$

$P(B) = 0.046$

(2) 不良品であったとき、それがA社の製品である確率を求める

求めるのは、$P(A|B)$ (不良品であったとき、それがA社の製品である確率) です。

これは、ベイズの定理を使って計算できます。

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

すでに必要な値は計算済みまたは与えられています。

$P(B|A) = 0.03$

$P(A) = 0.60$

$P(B) = 0.046$

値を代入します。

$P(A|B) = \frac{(0.03)(0.60)}{0.046}$

$P(A|B) = \frac{0.018}{0.046}$

$P(A|B) = \frac{18}{46} = \frac{9}{23}$

$P(A|B) \approx 0.3913$

3. 最終的な答え

(1) それが不良品である確率は $0.046$ です。

(2) 不良品であったとき、それがA社の製品である確率は $\frac{9}{23}$ (約0.3913) です。