1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が2回出たら賞品がもらえるゲームがある。ただし、投げられる回数は6回までとし、2回目の表が出たらそれ以降は投げない。1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が2回出たら賞品がもらえるゲームがある。ただし、投げられる回数は6回までとし、2回目の表が出たらそれ以降は投げない。1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 1回目は必ず裏が出る。賞品をもらうには、その後、表が2回出る必要がある。

* 2回目以降の試行回数を考える。2回目に表が出ると、残り1回の表を出すまでの試行回数は最大で5回。

場合分けを行う。

(1) 2回目に表が出た場合:

この場合、2回目の表は3回目から6回目のいずれかで出る。

* 2回目が表、残りの1回の表が3回目に出る場合：「裏表表」

* 2回目が表、残りの1回の表が4回目に出る場合：「裏表裏表」

* 2回目が表、残りの1回の表が5回目に出る場合：「裏表裏裏表」

* 2回目が表、残りの1回の表が6回目に出る場合：「裏表裏裏裏表」

合計4通り

(2) 2回目に裏が出た場合:

この場合、残りの試行回数で表が2回出る必要がある。

* 「裏裏表表」：残りの2回が表

* 「裏裏表裏表」

* 「裏裏裏表表」

したがって

* 3,4回目が表：「裏裏表表」

* 3回目が表、4回目が裏、5回目が表：「裏裏表裏表」

* 3回目が表、4,5回目が裏、6回目が表：「裏裏表裏裏表」

* 3回目が裏、4,5回目が表：「裏裏裏表表」

* 3,4回目が裏、5,6回目が表：「裏裏裏裏表表」

3,4回目が表の場合、1通り。

3回目が表の場合、「裏裏表XX」、 Xが裏と表の場合を考えるので

「裏裏表裏表」、

「裏裏表裏裏」の場合、表が２回ではないので除外

3回目が裏の場合、「裏裏裏XX」

5回の試行の場合

「裏裏裏表裏」と「裏裏裏裏表」、表が2回ではないので除外

「裏裏裏表表」、１通り

6回の試行の場合

「裏裏裏裏表表」、１通り

* 「裏裏」の後、表が2回出る順序。表は最大4回まで。

$X$を裏，$O$を表とすると

$OO$

$OXO$

$XOO$

$OXXO$

$XOXO$

$XXOO$

よって６通り

(1)と(2)を足すと、4 + 6 = 10

3. 最終的な答え

10通り