全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、与えられた条件 $n(U) = 100$, $n(A) = 36$, $n(B) = 42$, $n(A \cap B) = 15$ のとき、以下の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A} \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、与えられた条件 $n(U) = 100$, $n(A) = 36$, $n(B) = 42$, $n(A \cap B) = 15$ のとき、以下の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$ は、全体集合から $A$ の要素を取り除いた残りの要素の数なので、

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 36 = 64$

(2) $n(\overline{B})$ は、全体集合から $B$ の要素を取り除いた残りの要素の数なので、

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 100 - 42 = 58$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$ は、$B$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の数なので、

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 42 - 15 = 27$

(4) $n(A \cup B)$ は、$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の数なので、包含と排除の原理より、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 36 + 42 - 15 = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B})$ は、$A \cup B$ に含まれない要素の数なので、全体集合から $A \cup B$ の要素を取り除いた残りの要素の数である。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 100 - 63 = 37$

(6) $n(A \cap \overline{B})$ は、$A$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の数なので、

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 36 - 15 = 21$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 27$

(4) $n(A \cup B) = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 37$

(6) $n(A \cap \overline{B}) = 21$