問題5では、 $r \neq 1$ である実数 $r$ に対して、自然数 $n$ に対する数列 $S_n = 4 + 4r + 4r^2 + \dots + 4r^{n-1}$ が与えられています。 (1) $S_n$ を $n$ と $r$ を用いた分数式で表す必要があります。 (2) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束するような $r$ の範囲を求める必要があります。 問題6では、循環小数 $0.345345345\dots$ を整数の分数で表す必要があります。

1. 問題の内容

問題5では、 $r \neq 1$ である実数 $r$ に対して、自然数 $n$ に対する数列 $S_n = 4 + 4r + 4r^2 + \dots + 4r^{n-1}$ が与えられています。

(1) $S_n$ を $n$ と $r$ を用いた分数式で表す必要があります。

(2) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束するような $r$ の範囲を求める必要があります。

問題6では、循環小数 $0.345345345\dots$ を整数の分数で表す必要があります。

2. 解き方の手順

問題5 (1) $S_n$ の計算:

$S_n$ は初項4、公比$r$の等比数列の和であるため、$r \neq 1$ のとき、等比数列の和の公式を用いると

$S_n = \frac{4(1 - r^n)}{1 - r}$

問題5 (2) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束する $r$ の範囲:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4(1 - r^n)}{1 - r}$

この極限が存在するためには、$\lim_{n \to \infty} r^n$ が存在する必要があります。これは $|r| < 1$ のときに成り立ち、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ となります。

したがって、$-1 < r < 1$ のとき、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{4(1 - 0)}{1 - r} = \frac{4}{1 - r}$

問題6 循環小数の分数表現:

循環小数 $x = 0.345345345\dots$ とします。

$1000x = 345.345345\dots$

$1000x - x = 345.345345\dots - 0.345345345\dots$

$999x = 345$

$x = \frac{345}{999}$

$x = \frac{115}{333}$ (約分しました)

3. 最終的な答え

問題5 (1):

$S_n = \frac{4(1 - r^n)}{1 - r}$

問題5 (2):

$-1 < r < 1$

問題6:

$\frac{115}{333}$