全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、 $A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $A \cap \overline{B} = \{7\}$ であるとき、 (1) $\overline{A} \cap B$ を求めなさい。 (2) $A \cap \overline{B}$ を求めなさい。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $A \cap \overline{B} = \{7\}$ であるとき、

(1) $\overline{A} \cap B$ を求めなさい。

(2) $A \cap \overline{B}$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap B$ を求める。

まず、$A \cup B$ の要素から $A$ に含まれる要素を特定する。$A \cap B = \{3, 5\}$ と $A \cap \overline{B} = \{7\}$ より、$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{3, 5, 7\}$ である。

次に、$B$ の要素を特定する。$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$ であるので、$B$ には $A$ に含まれない要素 $\{2, 6\}$ が含まれる必要がある。また、$A \cap B = \{3, 5\}$ より $3$ と $5$ も $B$ に含まれる。したがって、$B = \{2, 3, 5, 6\}$ である。

$\overline{A}$ は $U$ から $A$ の要素を除いたものなので、$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 4, 6\}$ である。

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分なので、$\overline{A} \cap B = \{2, 6\}$ である。

(2) $A \cap \overline{B}$ を求める。

問題文より、$A \cap \overline{B} = \{7\}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} \cap B = \{2, 6\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{7\}$