全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A, B$ について、 $A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $\overline{A} \cap B = \{7\}$ であるとき、 (1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めなさい。 (2) $A \cap \overline{B}$ を求めなさい。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A, B$ について、

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $\overline{A} \cap B = \{7\}$ であるとき、

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めなさい。

(2) $A \cap \overline{B}$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ について:

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ である。

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$ より、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B)$ である。

よって、$\overline{A \cup B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{2, 3, 5, 6, 7\} = \{1, 4\}$ である。

したがって、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4\}$ である。

(2) $A \cap \overline{B}$ について:

$A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ であり、$A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$ は互いに素である。

したがって、

$A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$

$\{2, 3, 5, 6, 7\} = \{3, 5\} \cup (A \cap \overline{B}) \cup \{7\}$

$A \cap \overline{B} = (A \cup B) - (A \cap B) - (\overline{A} \cap B)$

$A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 6, 7\} - \{3, 5\} - \{7\} = \{2, 6\}$

したがって、$A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$