8個の文字 A, A, B, B, C, C, D, E を横一列に並べる。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) AとA, BとB, CとCがそれぞれ隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。 (3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の文字 A, A, B, B, C, C, D, E を横一列に並べる。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) AとA, BとB, CとCがそれぞれ隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方の場合、同じ文字があるため、順列の公式をそのまま使うことはできません。

A, A, B, B, C, C, D, E の8個の文字を並べる総数は、8!通りです。ただし、Aが2個、Bが2個、Cが2個あるので、それぞれの重複を解消するために、2!で3回割る必要があります。

したがって、並べ方の総数は、

$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り

(2) AとA, BとB, CとCがそれぞれ隣り合う場合、AA, BB, CCをそれぞれ1つのまとまりとして考えます。すると、AA, BB, CC, D, E の5つのものを並べることになります。この5つのものの並べ方は、5!通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方を求める問題です。

まず、DとEと、A, B, Cの異なる文字を並べます。D, E, A, B, Cを並べる順列は5! = 120通りです。

A, B, Cが隣り合わないように並べるので、それぞれの文字の間に隙間を作ります。D, E, A, B, Cを並べたときにできる隙間は6つです。

例えば、_D_E_A_B_C_のように、アンダーバーの部分に同じ文字を配置します。

この6つの隙間のうち、2つを選んでAを配置する方法は、$_6C_2 = 15$ 通りです。

残った隙間は$6-2 = 4$つです。

次に、この4つの隙間のうち、2つを選んでBを配置する方法は、$_4C_2 = 6$ 通りです。

残った隙間は$4-2 = 2$つです。

最後に、この2つの隙間のうち、2つを選んでCを配置する方法は、$_2C_2 = 1$ 通りです。

したがって、同じ文字が全く隣り合わない並べ方は、

$5! \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = 120 \times 15 \times 6 \times 1 = 120 \times 90 = 10800$通りになります。

しかし、これは誤りです。

包除原理を使うことを検討します。

全体の場合の数から、少なくとも1組が隣り合う場合の数を引き、2組が隣り合う場合の数を足し、3組が隣り合う場合の数を引きます。

全体の場合の数: 5040 (上記で計算)

少なくとも1組が隣り合う: $_3C_1 \times \frac{7!}{2!2!} -$_3C_2 \times \frac{6!}{2!} + $_3C_3 \times 5! = 3\times 1260 - 3\times 360 + 120 = 3780 - 1080 + 120 = 2820$

少なくとも2組が隣り合う: $_3C_2 \times \frac{6!}{2!} -$_3C_3 \times 5! = 3\times 360 - 120 = 1080 - 120 = 960$

3組が隣り合う: 120 (上記で計算)

求める場合の数 = 5040 - 2820 + 960 -120 = 3060

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 120通り

(3) 3060通り