4個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積をXとする。 (1) Xが偶数となる確率を求める。 (2) Xが25の倍数となる確率を求める。 (3) Xが100の倍数となる確率を求める。

1. 問題の内容

4個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積をXとする。

(1) Xが偶数となる確率を求める。

(2) Xが25の倍数となる確率を求める。

(3) Xが100の倍数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Xが偶数となる確率

Xが偶数となるのは、4つのサイコロの目のうち少なくとも1つが偶数であるときである。

Xが奇数となるのは、4つのサイコロの目がすべて奇数であるときである。

1つのサイコロの目が奇数である確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

したがって、4つのサイコロの目がすべて奇数である確率は

$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

Xが偶数となる確率は、1からXが奇数となる確率を引いたものである。

$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

(2) Xが25の倍数となる確率

Xが25の倍数となるのは、少なくとも2つのサイコロの目が5であるか、または1つのサイコロの目が5で、かつ他のサイコロの目が5の倍数である必要がある。5の倍数は5のみなので、5が2個以上出る必要がある。

4つのサイコロの目がすべて異なる場合を考える。

5が2つ出る場合： ${4 \choose 2} \times 5^2 \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = 6 \times \frac{16}{36} = \frac{96}{36}$ これはありえない。

5が2つ出る確率： ${4 \choose 2} \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296}$

5が3つ出る確率： ${4 \choose 3} \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296}$

5が4つ出る確率： ${4 \choose 4} \times (\frac{1}{6})^4 = \frac{1}{1296}$

Xが25の倍数になる確率は $\frac{150+20+1}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$

(3) Xが100の倍数となる確率

100 = 4 * 25 = 2 * 2 * 5 * 5

Xが100の倍数となるには、少なくとも2つの5が出て、かつ偶数が少なくとも2つ出る必要がある。

または、5が2個以上、2が少なくとも1つ、4が少なくとも１つ。あるいは、5が2つ以上、4が1つ以上

考えられるパターンはいくつかある。

* 5, 5, 4, x (x=1~6)

* 5, 5, 2, 2

* 5, 5, 2, 4

* 5, 5, 2, 6

* 5, 5, 4, 1

* 5, 5, 4, 2

* 5, 5, 4, 3

* 5, 5, 4, 4

* 5, 5, 4, 5

* 5, 5, 4, 6

5が2つの場合: ${4 \choose 2}=6$通りの配置

2,4を含む場合

(5,5,4,x)の場合

xが偶数の時、4通り。x = 2,4,6

xが奇数の時、0通り。

(5,5,2,x)の場合

xが偶数の時、4通り。x = 2,4,6

xが奇数の時、0通り。

55xxという並びの場合で考える。

(i) 5が2つの場合: 5, 5, 4, その他

(ii) 5が3つの場合: 5, 5, 5, 4または2

(iii) 5が4つの場合: 5, 5, 5, 5

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{16}$

(2) $\frac{19}{144}$

(3) まだ計算中です