## 問題の内容

## 問題の内容

1. 野球選手100人を無作為に抽出し、1週間あたりのホームラン数を調べた結果に基づいて、1人あたりのホームラン数の母平均を信頼度95%で推定する。

2. ポップコーン1袋の重さを100gと基準にしているメーカーが、144袋を無作為に抽出し平均の重さを調べたところ98.8gだった。有意水準5%で、1袋の平均の重さは100gではないと判断してよいか検定する。

## 解き方の手順

### 問題1

1. 標本平均 $\overline{X}$ を計算する。

$\overline{X} = \frac{41\times0 + 27\times1 + 23\times2 + 9\times3}{100} = \frac{0 + 27 + 46 + 27}{100} = \frac{100}{100} = 1$

よって、$\overline{X} = 1$

2. 95%信頼区間を求める。母標準偏差が不明だが、標本サイズ$n=100$と大きいので、母標準偏差の代わりに標本標準偏差で代用する。しかし、ここでは、問題文から、

信頼区間は$\overline{X} - 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}} , \overline{X} + 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$で与えられている。この式から解答を導く。

$\frac{s}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})^2}{n(n-1)}}$のルートの中身を計算する。

$\frac{(0-1)^2 \times 41 + (1-1)^2 \times 27 + (2-1)^2 \times 23 + (3-1)^2 \times 9}{100 \times 99} = \frac{41 + 0 + 23 + 36}{9900} = \frac{100}{9900} = \frac{1}{99}$

よって、$\frac{s}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{1}{99}} = \frac{1}{\sqrt{99}}$

信頼区間は $1 - 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{99}} , 1 + 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{99}}$となる。

$\sqrt{99} \approx 9.95$なので、$1.96 \times \frac{1}{\sqrt{99}} \approx 1.96 \times \frac{1}{9.95} \approx 0.197$

信頼区間は、$1 - 0.197, 1 + 0.197$となり、$0.803, 1.197$となる。

### 問題2

1. 帰無仮説 $H_0: m = 100$ (母平均は100gである) を立てる。

2. 対立仮説 $H_1: m \neq 100$ (母平均は100gではない) を立てる。

3. 検定統計量 Z を計算する。標本平均 $\overline{X} = 98.8$, 母標準偏差 $\sigma = 6$, 標本サイズ $n = 144$ である。

$Z = \frac{\overline{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{98.8 - 100}{6 / \sqrt{144}} = \frac{-1.2}{6 / 12} = \frac{-1.2}{0.5} = -2.4$

4. 有意水準 $\alpha = 0.05$ の両側検定を行う。棄却域は $|Z| \geq 1.96$ である。

5. 計算した Z 値は -2.4 であり、 $|-2.4| = 2.4 \geq 1.96$ なので、帰無仮説は棄却される。

## 最終的な答え

### 問題1

1: 1

2: s

3: root

4: n

5: s

6: root

7: n

8:

0. 9: 80

10: 3

11: ,

12:

1. 13: 19

14: 7

15: ]

### 問題2

16:

9

8. 17: 8

18: - 100

19: 6

20: root(144)

21:

2. 22: 4