2つのチームGとHが6回試合を行う。各試合でHが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Gが勝つ確率は$\frac{1}{3}$であり、引き分けはないものとする。 (1) 6回の試合終了後に、Hが合計3勝している確率を求めよ。 (2) GとHのそれぞれの勝ち数が、(はじめを除き) 6回後に初めて等しくなる確率を求めよ。 (3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求めよ。

1. 問題の内容

2つのチームGとHが6回試合を行う。各試合でHが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Gが勝つ確率は$\frac{1}{3}$であり、引き分けはないものとする。

(1) 6回の試合終了後に、Hが合計3勝している確率を求めよ。

(2) GとHのそれぞれの勝ち数が、(はじめを除き) 6回後に初めて等しくなる確率を求めよ。

(3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 6回の試合でHが3勝する確率は、二項分布に従う。

確率質量関数は、$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$で表される。

ここで、$n=6$, $k=3$, $p=\frac{2}{3}$である。

したがって、$P(X=3) = \binom{6}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3$

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$P(X=3) = 20 \times (\frac{8}{27}) \times (\frac{1}{27}) = \frac{160}{729}$

(2) GとHの勝ち数が6回後に初めて等しくなるということは、3勝3敗である。しかし、途中で勝ち数が等しくなってはいけない。

まず、6回で3勝3敗になる確率は、(1)で計算した$\frac{160}{729}$である。

途中で勝ち数が等しくなる場合を除外する必要がある。

途中で勝ち数が等しくなるのは、例えば、1勝1敗、2勝2敗などがある。

6回目に初めて勝ち数が並ぶためには、1回目から5回目までは常にどちらかがリードしていなければならない。

これはカタラン数の応用である。

6回で3勝3敗になるすべての経路の数は$\binom{6}{3} = 20$。

最初にHが勝つ場合: $H > G$

最後にHが勝つ場合は、5回目までにHが2勝、Gが3勝である必要がある。これはありえない。

最初にGが勝つ場合: $G > H$

最初にHが勝つ確率は$\frac{2}{3}$であり、最初にGが勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。

求めたいのは、Hが常にリードしている確率とGが常にリードしている確率の和である。

しかし、これは複雑なので、直接計算する。

Hが3勝3敗で、一度も勝ち数が並ばない場合：

HHHGGG, GGGHHHしかない。

途中で勝ち数が並ぶ場合を考える。

Hが先に3勝している場合、途中で勝ち数が並ぶのは、HGHGHGなど。

3勝3敗になるのは、Hが3回、Gが3回勝つ場合であるから、全事象は$2^6 = 64$ではない。

6回の試行で3勝3敗になる経路の総数は$\binom{6}{3} = 20$通り。

6回目で初めて勝ち数が並ぶ確率は、

経路がHGHGHG, GHGHGH の2通りしかない。それぞれの確率は$(\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3 = \frac{8}{729}$と$(\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{729}$

なので、合計は$\frac{16}{729}$

(3) HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求める。

これは、Hが常にGより多く勝っているということ。

Hが1回勝つ確率: $\frac{2}{3}$, Hが2回勝つ確率: $(\frac{2}{3})^2$, Hが3回勝つ確率: $(\frac{2}{3})^3$, Hが4回勝つ確率: $(\frac{2}{3})^4$, Hが5回勝つ確率: $(\frac{2}{3})^5$, Hが6回勝つ確率: $(\frac{2}{3})^6$

Hが6回全て勝つ場合しかありえない。確率は$(\frac{2}{3})^6 = \frac{64}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{160}{729}$

(2) $\frac{16}{729}$

(3) $\frac{64}{729}$