与えられた条件のもとで、不等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $x > -3$, $y > 2$ のとき、$xy - 6 > 2x - 3y$ を証明します。 (2) $a > b > c > d$ のとき、$ab + cd > ac + bd$ を証明します。

1. 問題の内容

与えられた条件のもとで、不等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $x > -3$, $y > 2$ のとき、$xy - 6 > 2x - 3y$ を証明します。

(2) $a > b > c > d$ のとき、$ab + cd > ac + bd$ を証明します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$xy - 6 > 2x - 3y$ を変形します。

$xy - 2x + 3y - 6 > 0$

左辺を因数分解すると、

$(x + 3)(y - 2) > 0$

条件より、$x > -3$ なので、$x + 3 > 0$ であり、$y > 2$ なので、$y - 2 > 0$ です。

したがって、$(x + 3)(y - 2) > 0$ が成り立ちます。

(2)

$ab + cd > ac + bd$ を変形します。

$ab - ac - bd + cd > 0$

$a(b - c) - d(b - c) > 0$

$(a - d)(b - c) > 0$

条件より、$a > b > c > d$ なので、$a > d$ かつ $b > c$ が成り立ちます。

したがって、$a - d > 0$ かつ $b - c > 0$ であるから、$(a - d)(b - c) > 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $x > -3, y > 2$ のとき、$xy - 6 > 2x - 3y$ は成り立つ。

(2) $a > b > c > d$ のとき、$ab + cd > ac + bd$ は成り立つ。