与えられた二つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$ (2) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$

(2) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式を整理します。

$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$

この式は$a, b, c$に関して対称性があります。

$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開すると、

$(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2+c^2+2bc)$

$= ab^2 + ac^2 + 2abc + b^3 + bc^2 + 2b^2c$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc = a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$

したがって、因数分解の結果は$(a+b)(b+c)(c+a)$となります。

(2)

与えられた式を展開します。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - c^2b$

この式を$a$について整理します。

$a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - c^2b = a^2(b-c) + a(c^2-b^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$= (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b))$

$= (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$