$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x - \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x - \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{6})^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2)

$(x - \frac{1}{x})^2$ を展開すると、

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

(1)より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ であるから、

$(x - \frac{1}{x})^2 = 4 - 2 = 2$

したがって、

$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{2}$