不等式 $(2x+y-3)(x^2-2x+y^2-2y) < 0$ が表す領域を座標平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $(2x+y-3)(x^2-2x+y^2-2y) < 0$ が表す領域を座標平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を因数分解します。

第2項は平方完成することで、$(x-1)^2 + (y-1)^2 - 2$ と変形できます。

したがって、

$x^2-2x+y^2-2y = (x^2-2x+1) + (y^2-2y+1) - 2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 - 2$

よって、与えられた不等式は

$(2x+y-3)((x-1)^2 + (y-1)^2 - 2) < 0$ と書き換えられます。

この不等式が成り立つのは、以下の2つの場合です。

(1) $2x+y-3 > 0$ かつ $(x-1)^2 + (y-1)^2 - 2 < 0$

(2) $2x+y-3 < 0$ かつ $(x-1)^2 + (y-1)^2 - 2 > 0$

(1) の場合、$2x+y-3 > 0$ は $y > -2x+3$ を意味し、これは直線 $y = -2x+3$ の上側の領域を表します。

$(x-1)^2 + (y-1)^2 - 2 < 0$ は $(x-1)^2 + (y-1)^2 < 2$ を意味し、これは中心が $(1, 1)$、半径が $\sqrt{2}$ の円の内部の領域を表します。

(2) の場合、$2x+y-3 < 0$ は $y < -2x+3$ を意味し、これは直線 $y = -2x+3$ の下側の領域を表します。

$(x-1)^2 + (y-1)^2 - 2 > 0$ は $(x-1)^2 + (y-1)^2 > 2$ を意味し、これは中心が $(1, 1)$、半径が $\sqrt{2}$ の円の外部の領域を表します。

求める領域は、上記(1)と(2)の領域を合わせたものです。

直線 $2x+y-3 = 0$ すなわち $y=-2x+3$ と、円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ は境界を含みません。

3. 最終的な答え

直線 $y = -2x+3$ と円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ で区切られた領域のうち、

(1) $y > -2x+3$ かつ $(x-1)^2 + (y-1)^2 < 2$ を満たす領域（直線の上側かつ円の内部）

(2) $y < -2x+3$ かつ $(x-1)^2 + (y-1)^2 > 2$ を満たす領域（直線の下側かつ円の外部）

の和集合が答えとなります。境界線（直線と円周）は含みません。