$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

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1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

(2) $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

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2. 解き方の手順

### (1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

1. 式を展開します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

2. $a$ について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 3bc)a + (b^2c + c^2b)$

3. $a$ についての二次式として、定数項を因数分解します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 3bc)a + bc(b+c)$

4. 全体を因数分解します。

$(a+b)(b+c)(c+a)$ となることを目指します。

$= (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2 + bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + bc(b+c)$

$b+c = X$ と置くと、

$Xa^2 + (X^2 + bc)a + bcX$

$= Xa^2 + X^2 a + bca + bcX$

$= X(a^2 + Xa) + bc(a+X)$

$= Xa(a+X) + bc(a+X)$

$= (Xa+bc)(a+X)$

$X=b+c$ に戻すと、

$= ((b+c)a + bc)(a+b+c)$

$= (ab + ac + bc)(a+b+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

### (2) $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

1. 式を展開します。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

2. $a$ について整理します。

$(b-c)a^3 + (c^3 - b^3)a + (b^3c - c^3b)$

$(b-c)a^3 - (b-c)(b^2+bc+c^2)a + bc(b-c)(b+c)$

3. 共通因数 $(b-c)$ でくくります。

$(b-c)[a^3 - (b^2+bc+c^2)a + bc(b+c)]$

4. 次に、$b$ について整理します。

$(b-c)[a^3 - (a-c)b^2 +c)]$

5. 全体を因数分解すると、

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

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3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

または

$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

または

$-(a-b)(b-c)(c-a)$