次の3つの式を因数分解します。 (1) $x^3 + 27$ (2) $x^3 - 1$ (3) $125x^3 + a^3$

1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解します。

(1) $x^3 + 27$

(2) $x^3 - 1$

(3) $125x^3 + a^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 27$ は $x^3 + 3^3$ と書けます。これは和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用できます。$a = x$、$b = 3$ を代入すると、

$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $x^3 - 1$ は $x^3 - 1^3$ と書けます。これは差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用できます。$a = x$、$b = 1$ を代入すると、

$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

(3) $125x^3 + a^3$ は $(5x)^3 + a^3$ と書けます。これは和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用できます。$a = 5x$、$b = a$ を代入すると、

$(5x)^3 + a^3 = (5x + a)((5x)^2 - (5x)a + a^2) = (5x + a)(25x^2 - 5ax + a^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$

(3) $(5x + a)(25x^2 - 5ax + a^2)$