与えられた2つの式をそれぞれ計算します。 (1) $\frac{1}{\sqrt[3]{16}} \times \sqrt{32} \div \sqrt[6]{2}$ (2) $\sqrt[3]{192} - \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2つの式をそれぞれ計算します。

(1) $\frac{1}{\sqrt[3]{16}} \times \sqrt{32} \div \sqrt[6]{2}$

(2) $\sqrt[3]{192} - \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの項を指数表記に変換します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{16}} = \frac{1}{16^{1/3}} = 16^{-1/3} = (2^4)^{-1/3} = 2^{-4/3}$

$\sqrt{32} = 32^{1/2} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$

$\sqrt[6]{2} = 2^{1/6}$

したがって、与式は

$2^{-4/3} \times 2^{5/2} \div 2^{1/6} = 2^{-4/3} \times 2^{5/2} \times 2^{-1/6}$

指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$を用いると、

$2^{(-4/3) + (5/2) + (-1/6)} = 2^{(-8/6) + (15/6) + (-1/6)} = 2^{6/6} = 2^1 = 2$

(2)

それぞれの項を簡単にします。

$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \times 3} = \sqrt[3]{4^3 \times 3} = 4\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \times 3} = \sqrt[3]{3^3 \times 3} = 3\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{1}{9} \times \frac{3}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3}{27}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

したがって、与式は

$4\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \frac{4\sqrt[3]{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}$