与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 27$ (2) $64a^3 + 125b^3$ (3) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ (4) $x^3 + x^2 - 4x - 4$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 27$

(2) $64a^3 + 125b^3$

(3) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

(4) $x^3 + x^2 - 4x - 4$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 27$ の因数分解

$27 = 3^3$ であるから、これは $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用できます。

$x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

(2) $64a^3 + 125b^3$ の因数分解

$64a^3 = (4a)^3$ 、 $125b^3 = (5b)^3$ であるから、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用できます。

$(4a)^3 + (5b)^3 = (4a + 5b)((4a)^2 - (4a)(5b) + (5b)^2) = (4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$

(3) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ の因数分解

これは $(x + 2)^3$ を展開した式です。

$(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

したがって、$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3$

(4) $x^3 + x^2 - 4x - 4$ の因数分解

まず、2つの項ずつに分けて共通因数でくくります。

$x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ であるから、

$(x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

(2) $(4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$

(3) $(x + 2)^3$

(4) $(x - 2)(x + 2)(x + 1)$