与えられた2つの式を因数分解する。 (1) $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ (2) $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 5x - 5y + 2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する。

(1) $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$

(2) $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 5x - 5y + 2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、2次までの項を因数分解することを考える。

$x^2 - xy - 2y^2 = (x-2y)(x+y)$

次に、与式全体を$(x-2y+a)(x+y+b)$と仮定して展開し、与式と比較して$a$と$b$を決定する。

$(x-2y+a)(x+y+b) = x^2 + xy + bx - 2xy - 2y^2 - 2by + ax + ay + ab = x^2 - xy - 2y^2 + (a+b)x + (a-2b)y + ab$

係数比較により、

$a+b = -1$

$a-2b = -7$

$ab = -6$

連立方程式を解く。上の2式から、

$a = -1-b$

$(-1-b)-2b = -7$

$-1-3b = -7$

$-3b = -6$

$b = 2$

$a = -1-2 = -3$

$ab = (-3)(2) = -6$

よって、$x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x-2y-3)(x+y+2)$

(2)

まず、2次までの項を因数分解することを考える。

$3x^2 + 7xy + 2y^2 = (3x+y)(x+2y)$

次に、与式全体を$(3x+y+a)(x+2y+b)$と仮定して展開し、与式と比較して$a$と$b$を決定する。

$(3x+y+a)(x+2y+b) = 3x^2 + 6xy + 3bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab = 3x^2 + 7xy + 2y^2 + (3b+a)x + (b+2a)y + ab$

係数比較により、

$3b+a = -5$

$b+2a = -5$

$ab = 2$

連立方程式を解く。上の2式から、

$a = -5-3b$

$b+2(-5-3b) = -5$

$b-10-6b = -5$

$-5b = 5$

$b = -1$

$a = -5-3(-1) = -5+3 = -2$

$ab = (-2)(-1) = 2$

よって、$3x^2 + 7xy + 2y^2 - 5x - 5y + 2 = (3x+y-2)(x+2y-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2y-3)(x+y+2)$

(2) $(3x+y-2)(x+2y-1)$