3次式 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ を $x^2 + x + 1$ で割ると余りが $5x + 8$ であり、$x^2 + x + 1$ で割ると余りが $-x$ であるとき、$a, b, c, d$ の値を求める問題です。問題文には同じ式で割るという記述が重複していますが、本来は別の式で割るという意図であると考えられます。

1. 問題の内容

3次式 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ を $x^2 + x + 1$ で割ると余りが $5x + 8$ であり、$x^2 + x + 1$ で割ると余りが $-x$ であるとき、$a, b, c, d$ の値を求める問題です。問題文には同じ式で割るという記述が重複していますが、本来は別の式で割るという意図であると考えられます。

2. 解き方の手順

$ax^3 + bx^2 + cx + d$ を $x^2 + x + 1$ で割った時の商を $Ax + B$ とすると、余りが $5x + 8$ より

$ax^3 + bx^2 + cx + d = (x^2 + x + 1)(Ax + B) + 5x + 8$

同様に $ax^3 + bx^2 + cx + d$ を $x^2 + x + 1$ で割った時の余りが $-x$であるという条件はあり得ません。

問題文に誤りがあると判断し、$ax^3 + bx^2 + cx + d$ を $x^2 + 1$ で割ったときの余りが $-x$であると仮定します。このとき、商を $Ax + B'$とすると

$ax^3 + bx^2 + cx + d = (x^2 + 1)(Ax + B') - x$

2つの式は同じなので

$(x^2 + x + 1)(Ax + B) + 5x + 8 = (x^2 + 1)(Ax + B') - x$

$Ax^3 + Bx^2 + Ax^2 + Bx + Ax + B + 5x + 8 = Ax^3 + B'x^2 + Ax + B' - x$

$Ax^3 + (A+B)x^2 + (A+B+5)x + B + 8 = Ax^3 + B'x^2 + (A-1)x + B'$

係数を比較して

$A + B = B'$

$A + B + 5 = A - 1$

$B + 8 = B'$

$A + B + 5 = A - 1$ より $B = -6$

$B + 8 = B'$ より $B' = -6 + 8 = 2$

$A + B = B'$ より $A - 6 = 2$ なので $A = 8$

したがって、$ax^3 + bx^2 + cx + d = (x^2 + x + 1)(8x - 6) + 5x + 8$

$= 8x^3 - 6x^2 + 8x^2 - 6x + 8x - 6 + 5x + 8$

$= 8x^3 + 2x^2 + 7x + 2$

よって、 $a = 8, b = 2, c = 7, d = 2$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 2$

$c = 7$

$d = 2$