(3) $\log_{9}\sqrt{11+\sqrt{40}} + \log_{9}\sqrt{11-\sqrt{40}}$ (4) $(\log_{3}8 - \log_{9}32)(\log_{4}9 + \log_{16}\frac{1}{3})$ これらの式を計算し、値を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(3) $\log_{9}\sqrt{11+\sqrt{40}} + \log_{9}\sqrt{11-\sqrt{40}}$

(4) $(\log_{3}8 - \log_{9}32)(\log_{4}9 + \log_{16}\frac{1}{3})$

これらの式を計算し、値を求めます。

2. 解き方の手順

(3)

$\log_{9}\sqrt{11+\sqrt{40}} + \log_{9}\sqrt{11-\sqrt{40}}$

$= \log_{9}(\sqrt{11+\sqrt{40}} \cdot \sqrt{11-\sqrt{40}})$

$= \log_{9}\sqrt{(11+\sqrt{40})(11-\sqrt{40})}$

$= \log_{9}\sqrt{11^2 - (\sqrt{40})^2}$

$= \log_{9}\sqrt{121 - 40}$

$= \log_{9}\sqrt{81}$

$= \log_{9}9$

$= 1$

(4)

$(\log_{3}8 - \log_{9}32)(\log_{4}9 + \log_{16}\frac{1}{3})$

まず、底を3に統一します。

$\log_{9}32 = \frac{\log_{3}32}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}2^5}{2} = \frac{5\log_{3}2}{2}$

$\log_{3}8 = \log_{3}2^3 = 3\log_{3}2$

$\log_{3}8 - \log_{9}32 = 3\log_{3}2 - \frac{5}{2}\log_{3}2 = \frac{1}{2}\log_{3}2$

次に、底を2に統一します。

$\log_{4}9 = \frac{\log_{2}9}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}3^2}{2} = \log_{2}3$

$\log_{16}\frac{1}{3} = \frac{\log_{2}\frac{1}{3}}{\log_{2}16} = \frac{\log_{2}3^{-1}}{4} = -\frac{1}{4}\log_{2}3$

$\log_{4}9 + \log_{16}\frac{1}{3} = \log_{2}3 - \frac{1}{4}\log_{2}3 = \frac{3}{4}\log_{2}3$

$(\log_{3}8 - \log_{9}32)(\log_{4}9 + \log_{16}\frac{1}{3})$

$= (\frac{1}{2}\log_{3}2)(\frac{3}{4}\log_{2}3)$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \log_{3}2 \cdot \log_{2}3$

$= \frac{3}{8} \cdot \frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 2}$

$= \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(3) の答え: 1

(4) の答え: $\frac{3}{8}$