三角形ABCにおいて、辺ACの中点をDとする。線分BD上にBE:ED = 3:2となる点Eをとる。AEの延長とBCの交点をFとする。 (1) 線分の比AE:EFを求める。 (2) 四角形CDEFと三角形ABCの面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACの中点をDとする。線分BD上にBE:ED = 3:2となる点Eをとる。AEの延長とBCの交点をFとする。

(1) 線分の比AE:EFを求める。

(2) 四角形CDEFと三角形ABCの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1) AE:EFを求める。

メネラウスの定理より、

$\frac{CD}{DA} \cdot \frac{AE}{EF} \cdot \frac{FB}{BC} = 1$

DはACの中点なので、$\frac{CD}{DA} = 1$

よって、$\frac{AE}{EF} \cdot \frac{FB}{BC} = 1$

$\frac{AE}{EF} = \frac{BC}{FB}$

次に、チェバの定理より、

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1$

$\frac{AD}{DC} = 1$, $\frac{BE}{ED} = \frac{3}{2}$なので、$\frac{ED}{BE} = \frac{2}{3}$

よって、

$1 \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{CF}{FB} = \frac{2}{3}$

したがって、$BC = CF + FB = \frac{2}{3}FB + FB = \frac{5}{3}FB$

$\frac{FB}{BC} = \frac{FB}{\frac{5}{3}FB} = \frac{3}{5}$

$\frac{AE}{EF} = \frac{BC}{FB} = \frac{5}{3}$

(2) 四角形CDEFと三角形ABCの面積の比を求める。

$\triangle ABE = \frac{3}{5} \triangle ABD = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{3}{10} \triangle ABC$

$\triangle AFE = \frac{3}{5} \triangle AFD$

$\frac{AE}{AF} = \frac{5}{8}$より、$AF = \frac{8}{5}AE$なので、

$\frac{\triangle AFE}{\triangle ABC} = \frac{3}{5} \triangle AFD$

$\frac{CF}{CB} = \frac{2}{5}$なので、$\triangle AFC = \frac{2}{5} \triangle ABC$

$\triangle ADF = \frac{1}{2}\triangle AFC = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\triangle ABC = \frac{1}{5}\triangle ABC$

$\triangle AEF = \frac{3}{8} \triangle AFD = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{5}\triangle ABC = \frac{3}{40}\triangle ABC$

$\triangle ABF = \frac{3}{5} \triangle ABC$

$\triangle CDF = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{1}{5}\triangle ABC = \frac{8}{40}\triangle ABC$

$\triangle ABC = \triangle CDF + \triangle ADF + \triangle ABF$

$\triangle ADF = \frac{1}{5}\triangle ABC$

$\triangle CDF = \frac{1}{5}\triangle ABC$

$\frac{\triangle CDF}{\triangle ABC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} = \frac{8}{40}$

$\triangle AEF = \frac{3}{40} \triangle ABC$

$\triangle ABF = \frac{3}{5} \triangle ABC = \frac{24}{40} \triangle ABC$

$\triangle ABC = \triangle AEF + \triangle CDF + \triangle ABF = \frac{3}{40} \triangle ABC$

$\triangle CDEF = \frac{3}{5} + \frac{3}{40} + \frac{1}{2} = \frac{3}{40}\triangle ABC$

$\triangle ABC$

$\triangle ABC - \frac{3}{8} \frac{1}{5} = \frac{1}{5}+\frac{3}{5}$

$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}$

$\frac{CF}{CB}=\frac{2}{5}$

$\triangle CDF = \frac{1}{5}\triangle ABC$

$\frac{EF}{EA} = \frac{3}{5}$

$\frac{BE}{BD}=\frac{3}{5}$

$\triangle BDE = \frac{2}{5}*\frac{1}{2}\triangle ABC=\frac{1}{5}$

$\triangle ABE = \frac{3}{10}\triangle ABC$

$\frac{\triangle BEF}{ABC}=\frac{3}{5}\triangle ABC$

$\triangle AEF=\frac{2}{8}\triangle ABC$

四角形CDEF = $\triangle ABC - \triangle ABE - \triangle BFE$

$\frac{13}{40}ABC$

よって、$\frac{1}{5} + \frac{3}{40}= \frac{11}{40}$

$\triangle ABE = \frac{3}{10} \triangle ABC$

$\triangle BFE = \frac{BE}{ED}*\triangle BDF= \frac{3}{10} ABC$

$\triangle CDEF = \frac{\triangle ABC}{40}\frac{1}{8}\triangle ABC$

$\triangle CDF = \frac{1}{2}\frac{2}{5} = \frac{1}{5}\triangle ABC = \frac{8}{40}\triangle ABC$

$\triangle AEF = \frac{3}{40}\triangle ABC$

四角形CDEFの面積比 = $\frac{11}{40}$

(2)

四角形CDEF/三角形ABC=11/40

四角形CDEFの面積は$\triangle CDF+ \triangle DEF$

3. 最終的な答え

(1) AE:EF = 5:3

(2) 四角形CDEF:三角形ABC = 11:40