問題は次の2つの極限を求めることです。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3r^n}{2 + r^n}$, ただし $r > 0$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n}$, ただし $r \neq -1$

1. 問題の内容

問題は次の2つの極限を求めることです。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3r^n}{2 + r^n}$, ただし $r > 0$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n}$, ただし $r \neq -1$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3r^n}{2 + r^n}$, ただし $r > 0$

この極限を計算するためには、$r$ の値に応じて場合分けをします。

(i) $0 < r < 1$ の場合: $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3r^n}{2 + r^n} = \frac{3 \cdot 0}{2 + 0} = \frac{0}{2} = 0$

(ii) $r = 1$ の場合: $\lim_{n \to \infty} r^n = 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3r^n}{2 + r^n} = \frac{3 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1$

(iii) $r > 1$ の場合: 分母と分子を $r^n$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3r^n}{2 + r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\frac{2}{r^n} + 1} = \frac{3}{0 + 1} = 3$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n}$, ただし $r \neq -1$

この極限を計算するためには、$r$ の値に応じて場合分けをします。

(i) $|r| < 1$ の場合: $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$

(ii) $r = 1$ の場合:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

(iii) $r > 1$ の場合: 分母と分子を $r^n$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

(iv) $r < -1$ の場合: 分母と分子を $r^n$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = 0$ となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

3. 最終的な答え

(1)

- $0 < r < 1$ のとき、0

- $r = 1$ のとき、1

- $r > 1$ のとき、3

(2)

- $|r| < 1$ のとき、1

- $r = 1$ のとき、0

- $|r| > 1$ のとき、-1