関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ で定義されているとき、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h)-f(x)$, $f(f(x))$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ で定義されているとき、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h)-f(x)$, $f(f(x))$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(1)$ を求めます。

$x=1$ を $f(x)$ に代入すると、

$f(1) = \frac{1}{\sqrt{1+3}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

次に、$f(\frac{1}{x})$ を求めます。

$x$ を $\frac{1}{x}$ に置き換えると、

$f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}+3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+3x}{x}}} = \sqrt{\frac{x}{1+3x}}$

次に、$f(x+1)$ を求めます。

$x$ を $x+1$ に置き換えると、

$f(x+1) = \frac{1}{\sqrt{(x+1)+3}} = \frac{1}{\sqrt{x+4}}$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を求めます。

$f(x+h) = \frac{1}{\sqrt{(x+h)+3}} = \frac{1}{\sqrt{x+h+3}}$

$f(x+h)-f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+h+3}} - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

最後に、$f(f(x))$ を求めます。

$x$ を $f(x)$ に置き換えると、

$f(f(x)) = f(\frac{1}{\sqrt{x+3}}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x+3}} + 3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+3\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{x+3}}{1+3\sqrt{x+3}}}$

3. 最終的な答え

$f(1) = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{x}) = \sqrt{\frac{x}{1+3x}}$

$f(x+1) = \frac{1}{\sqrt{x+4}}$

$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+h+3}} - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

$f(f(x)) = \sqrt{\frac{\sqrt{x+3}}{1+3\sqrt{x+3}}}$