関数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ について、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h) - f(x)$, $f(f(x))$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ について、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h) - f(x)$, $f(f(x))$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を求める。

$x$ に 1 を代入すると、

$f(1) = \frac{1}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1$

(2) $f(\frac{1}{x})$ を求める。

$x$ に $\frac{1}{x}$ を代入すると、

$f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}-2} = \frac{1}{\frac{1-2x}{x}} = \frac{x}{1-2x}$

(3) $f(x+1)$ を求める。

$x$ に $x+1$ を代入すると、

$f(x+1) = \frac{1}{x+1-2} = \frac{1}{x-1}$

(4) $f(x+h) - f(x)$ を求める。

$f(x+h) = \frac{1}{x+h-2}$ なので、

$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h-2} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) - (x+h-2)}{(x+h-2)(x-2)} = \frac{x-2-x-h+2}{(x+h-2)(x-2)} = \frac{-h}{(x+h-2)(x-2)}$

(5) $f(f(x))$ を求める。

$f(x) = \frac{1}{x-2}$ なので、

$f(f(x)) = f(\frac{1}{x-2}) = \frac{1}{\frac{1}{x-2}-2} = \frac{1}{\frac{1-2(x-2)}{x-2}} = \frac{1}{\frac{1-2x+4}{x-2}} = \frac{1}{\frac{5-2x}{x-2}} = \frac{x-2}{5-2x}$

3. 最終的な答え

$f(1) = -1$

$f(\frac{1}{x}) = \frac{x}{1-2x}$

$f(x+1) = \frac{1}{x-1}$

$f(x+h) - f(x) = \frac{-h}{(x+h-2)(x-2)}$

$f(f(x)) = \frac{x-2}{5-2x}$