$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めよ。ただし、$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を用いる。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めよ。ただし、$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を用いる。

2. 解き方の手順

与えられた部分分数分解の式を用いて、和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})]$

この和は望遠鏡和（telescoping sum）になっているので、多くの項が打ち消し合います。具体的には、隣り合う項同士が打ち消しあうので、残るのは最初の項と最後の項だけです。

$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1})$

$= \frac{1}{2} (\frac{2n+1-1}{2n+1})$

$= \frac{1}{2} (\frac{2n}{2n+1})$

$= \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{2n+1}$