与えられた関数 $f(x)$ に対して、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h)-f(x)$, $f(f(x))$ を計算する問題です。関数は二つ与えられており、(3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ と (4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h)-f(x)$, $f(f(x))$ を計算する問題です。関数は二つ与えられており、(3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ と (4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ です。

2. 解き方の手順

(3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ の場合：

* $f(1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

* $f(\frac{1}{x}) = \sqrt{\frac{1}{x} + 1} = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$

* $f(x+1) = \sqrt{(x+1)+1} = \sqrt{x+2}$

* $f(x+h) - f(x) = \sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}$

* $f(f(x)) = f(\sqrt{x+1}) = \sqrt{\sqrt{x+1} + 1}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ の場合：

* $f(1) = \frac{1}{\sqrt{1+3}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

* $f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x} + 3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+3x}{x}}} = \sqrt{\frac{x}{1+3x}}$

* $f(x+1) = \frac{1}{\sqrt{(x+1)+3}} = \frac{1}{\sqrt{x+4}}$

* $f(x+h) - f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+h+3}} - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

* $f(f(x)) = f(\frac{1}{\sqrt{x+3}}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x+3}} + 3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 3\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{x+3}}{1 + 3\sqrt{x+3}}}$

3. 最終的な答え

(3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ の場合：

* $f(1) = \sqrt{2}$

* $f(\frac{1}{x}) = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$

* $f(x+1) = \sqrt{x+2}$

* $f(x+h) - f(x) = \sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}$

* $f(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x+1} + 1}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ の場合：

* $f(1) = \frac{1}{2}$

* $f(\frac{1}{x}) = \sqrt{\frac{x}{1+3x}}$

* $f(x+1) = \frac{1}{\sqrt{x+4}}$

* $f(x+h) - f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+h+3}} - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

* $f(f(x)) = \sqrt{\frac{\sqrt{x+3}}{1 + 3\sqrt{x+3}}}$