関数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$ が与えられたとき、以下の値を求める。 - $f(1)$ - $f(\frac{1}{x})$ - $f(x+1)$ - $f(x+h) - f(x)$ - $f(f(x))$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$ が与えられたとき、以下の値を求める。

- $f(1)$

- $f(\frac{1}{x})$

- $f(x+1)$

- $f(x+h) - f(x)$

- $f(f(x))$

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を求める。$f(x)$ に $x=1$ を代入する。

$f(1) = 1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$

(2) $f(\frac{1}{x})$ を求める。$f(x)$ に $x=\frac{1}{x}$ を代入する。

$f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} - x$

(3) $f(x+1)$ を求める。$f(x)$ に $x=x+1$ を代入する。

$f(x+1) = (x+1) - \frac{1}{x+1}$

(4) $f(x+h) - f(x)$ を求める。

$f(x+h) = (x+h) - \frac{1}{x+h}$

$f(x+h) - f(x) = (x+h) - \frac{1}{x+h} - (x - \frac{1}{x}) = x+h - \frac{1}{x+h} - x + \frac{1}{x} = h - \frac{1}{x+h} + \frac{1}{x}$

$= h + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+h} = h + \frac{(x+h) - x}{x(x+h)} = h + \frac{h}{x(x+h)} = h(1 + \frac{1}{x(x+h)})$

(5) $f(f(x))$ を求める。

$f(x) = x - \frac{1}{x}$ なので、$f(f(x)) = f(x - \frac{1}{x})$ を計算する。

$f(f(x)) = f(x - \frac{1}{x}) = (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$

$= x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{x^2 - 1}{x}} = x - \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} - \frac{x^2-1}{x(x^2 - 1)} - \frac{x^2}{x(x^2 - 1)}$

$= \frac{x^2(x^2 - 1) - (x^2 - 1) - x^2}{x(x^2 - 1)}$

$= \frac{x^4 - x^2 - x^2 + 1 - x^2}{x(x^2 - 1)} = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}$

3. 最終的な答え

- $f(1) = 0$

- $f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - x$

- $f(x+1) = x+1 - \frac{1}{x+1}$

- $f(x+h) - f(x) = h + \frac{h}{x(x+h)}$

- $f(f(x)) = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}$