図に示された回路のA-B間の合成抵抗が$4 \Omega$であるとき、抵抗$r$の値を求める問題です。配線の抵抗は無視できるものとします。

1. 問題の内容

図に示された回路のA-B間の合成抵抗が$4 \Omega$であるとき、抵抗$r$の値を求める問題です。配線の抵抗は無視できるものとします。

2. 解き方の手順

まず、回路図を簡略化して考えます。

1. 3Ωと7Ωの抵抗が並列に接続されています。この並列抵抗の合成抵抗$R_{1}$を計算します。

2. 次に、$R_{1}$と16Ωの抵抗が直列に接続されています。この直列抵抗の合成抵抗$R_{2}$を計算します。

3. 最後に、$R_{2}$と9Ωの抵抗、そして抵抗$r$が並列に接続されています。この並列接続全体の合成抵抗が$4 \Omega$となるように、$r$を計算します。

並列抵抗の合成抵抗は、各抵抗の逆数の和の逆数で求められます。

直列抵抗の合成抵抗は、各抵抗の和で求められます。

1. 3Ωと7Ωの並列合成抵抗$R_{1}$の計算:

$\frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{7 + 3}{21} = \frac{10}{21}$

$R_{1} = \frac{21}{10} = 2.1 \Omega$

2. $R_{1}$と16Ωの直列合成抵抗$R_{2}$の計算:

$R_{2} = R_{1} + 16 = 2.1 + 16 = 18.1 \Omega$

3. $R_{2}$、9Ω、および$r$の並列合成抵抗が4Ωとなるように$r$を求める:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{9} + \frac{1}{r} = \frac{1}{18.1} + \frac{1}{9} + \frac{1}{r}$

$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} - \frac{1}{18.1} - \frac{1}{9}$

$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} - \frac{1}{18.1} - \frac{1}{9} = \frac{1}{4} - \frac{9+18.1}{9 \times 18.1} = \frac{1}{4} - \frac{27.1}{162.9} = \frac{1}{4} - 0.16635973$

$\frac{1}{r} = 0.25 - 0.16635973 = 0.08364027$

$r = \frac{1}{0.08364027} = 11.955 \approx 12 \Omega$

しかし、選択肢に12Ωがないため、計算誤差の可能性を考慮して、最も近い値の選択肢を確認します。

$r$を11Ωと仮定して、合成抵抗を計算し、4Ωに近いか確認します。

$\frac{1}{R_{parallel}} = \frac{1}{18.1} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11}$

$\frac{1}{R_{parallel}} = 0.0552486 + 0.1111111 + 0.0909091 = 0.2572688$

$R_{parallel} = \frac{1}{0.2572688} = 3.887 \Omega$

計算の結果、$r = 11\Omega$ とすると、合成抵抗が約3.887Ωとなり、4Ωに近い値になります。

3. 最終的な答え

4. 11.0Ω