はい、承知いたしました。画像にある練習25の(1)〜(4)の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある練習25の(1)〜(4)の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

与えられた多項式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$

(2) $x^2-3xy+2y^2+x+y-6$

(3) $3x^2+4xy+y^2+7x+y-6$

(4) $2x^2+5xy+2y^2-x+y-1$

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2. 解き方の手順**

(1) $x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$

まず、$x^2+2xy+y^2$ の部分に注目すると、$(x+y)^2$ となります。そこで、$x+y = A$ とおくと、

$A^2 - 5A + 6$

これは簡単に因数分解できて、

$(A-2)(A-3)$

$A$ を元に戻すと、

$(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $x^2-3xy+2y^2+x+y-6$

まず、$x^2-3xy+2y^2$ を因数分解すると、$(x-y)(x-2y)$となります。

この結果と定数項 $-6$ から、$(x-y+a)(x-2y+b)$ の形になると予想します。

展開すると、

$x^2 - 3xy + 2y^2 + (a+b)x + (-2a-b)y + ab$

これが元の式と等しくなるように、$a$, $b$ を決めます。

$a+b = 1$

$-2a-b = 1$

$ab = -6$

上の二つの式から、$a=-2$, $b=3$とわかります。$ab=-6$も満たします。

したがって、

$(x-y-2)(x-2y+3)$

(3) $3x^2+4xy+y^2+7x+y-6$

まず、$3x^2+4xy+y^2$を因数分解すると、$(3x+y)(x+y)$となります。

定数項は$-6$なので、$(3x+y+a)(x+y+b)$の形になると予想します。

展開すると、

$3x^2+4xy+y^2+(3b+a)x+(a+b)y+ab$

これが元の式と等しくなるように、$a$, $b$を決めます。

$3b+a=7$

$a+b=1$

$ab=-6$

上の二つの式から、$a=-2$, $b=3$とわかります。$ab=-6$も満たします。

したがって、

$(3x+y-2)(x+y+3)$

(4) $2x^2+5xy+2y^2-x+y-1$

まず、$2x^2+5xy+2y^2$を因数分解すると、$(2x+y)(x+2y)$となります。

定数項は$-1$なので、$(2x+y+a)(x+2y+b)$の形になると予想します。

展開すると、

$2x^2+5xy+2y^2+(2b+a)x+(4a+b)y+ab$

これが元の式と等しくなるように、$a$, $b$を決めます。

$2b+a=-1$

$4a+b=1$

$ab=-1$

上の二つの式から、$a=1/7$, $b=-4/7$となります。$ab=-4/49 \neq -1$なので、このままではうまくいきません。

別の方法として、$x$について整理してみます。

$2x^2 + (5y-1)x + (2y^2+y-1) = 2x^2 + (5y-1)x + (2y-1)(y+1)$

たすき掛けを使って、因数分解できるか考えます。

$2(y+1) + (2y-1) = 4y + 2 + 2y - 1 = 5y+1$

なので、うまくいきません。

$(2x+ay+b)(x+cy+d)$

$2ac=2$

$2ad+bc=5$

$bd=-1$

$b+2d=-1$

$ad+cb=1$

$2ac=2$より、$ac=1$

$ad+bc=1$より、$a(2d+1)/4+bc=1$

$ad+c(-2d-1)=1$

$d(a-2c)=1+c$

もう一度試行錯誤します。

$2x^2+5xy+2y^2-x+y-1 = (2x+y+1)(x+2y-1)$

展開すると、

$2x^2 + 4xy -2x + xy + 2y^2 -y + x + 2y -1 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 -x +y -1$

したがって、

$(2x+y+1)(x+2y-1)$

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3. 最終的な答え**

(1) $(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $(x-y-2)(x-2y+3)$

(3) $(3x+y-2)(x+y+3)$

(4) $(2x+y+1)(x+2y-1)$