平面上に4点 $A(3,0)$、$B(-1,2)$、$C(2,a)$、$D(1,5)$ が与えられている。 (1) 直線ABの方程式を求めよ。 (2) 直線ABと平行で、点Dを通る直線の方程式を求めよ。 (3) 直線ABと直線CDが直交するように $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に4点 $A(3,0)$、$B(-1,2)$、$C(2,a)$、$D(1,5)$ が与えられている。

(1) 直線ABの方程式を求めよ。

(2) 直線ABと平行で、点Dを通る直線の方程式を求めよ。

(3) 直線ABと直線CDが直交するように $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

まず、直線ABの傾きを計算する。傾き $m$ は $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で計算できる。

A(3,0)とB(-1,2)より、$m = \frac{2-0}{-1-3} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$。

次に、点A(3,0)を通り、傾き $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求める。点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いる。

$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

両辺に2をかけて、

$2y = -x + 3$

$x + 2y - 3 = 0$

(2) 直線ABと平行で、点D(1,5)を通る直線の方程式を求める。

直線ABと平行なので、傾きは同じ $-\frac{1}{2}$ である。

点D(1,5)を通り、傾き $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求める。点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いる。

$y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 1)$

$y - 5 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 5$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$

両辺に2をかけて、

$2y = -x + 11$

$x + 2y - 11 = 0$

(3) 直線ABと直線CDが直交するように $a$ の値を求める。

直線ABの傾きは $-\frac{1}{2}$。

直線CDの傾き $m_{CD}$ は、C(2,a)とD(1,5)より、$m_{CD} = \frac{5-a}{1-2} = \frac{5-a}{-1} = a-5$。

2つの直線が直交するとき、傾きの積が-1になる。

$(-\frac{1}{2}) \times (a-5) = -1$

$a-5 = 2$

$a = 7$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式：$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Dを通る直線の方程式：$x + 2y - 11 = 0$

(3) $a$ の値：$a = 7$