複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ と $\beta = 1 + i$ が与えられています。 (1) $\alpha$ と $\beta$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。 (2) $\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。 (3) $\cos \frac{7\pi}{12}$ と $\sin \frac{\pi}{12}$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ と $\beta = 1 + i$ が与えられています。

(1) $\alpha$ と $\beta$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

(2) $\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

(3) $\cos \frac{7\pi}{12}$ と $\sin \frac{\pi}{12}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ と $\beta$ を極形式で表す。

$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ について、

絶対値 $|\alpha| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta$ について、$\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

$\beta = 1 + i$ について、

絶対値 $|\beta| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

偏角 $\theta$ について、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

よって、$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

(2) $\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す。

$\alpha\beta = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) \cdot \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

$= 2\sqrt{2}(\cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) + i \sin (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})) = 2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12})$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})}{\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})} = \frac{2}{\sqrt{2}}(\cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i \sin (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}))$

$= \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12})$

(3) $\cos \frac{7\pi}{12}$ と $\sin \frac{\pi}{12}$ を求める。

$\alpha\beta = (1 + \sqrt{3}i)(1 + i) = 1 + i + \sqrt{3}i + \sqrt{3}i^2 = (1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})i$

$\alpha\beta = 2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12})$ より、

$2\sqrt{2}\cos \frac{7\pi}{12} = 1 - \sqrt{3}$

$\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{1 + i} = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + \sqrt{3} + (-1 + \sqrt{3})i}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}i$

$\frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12})$ より、

$\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{12} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

$\alpha\beta = 2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12})$

$\frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12})$

$\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$