円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つときの $m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つときの $m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であることである。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $1$ である。

直線 $y = mx + 2$ は $mx - y + 2 = 0$ と変形できる。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

で与えられる。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y + 2 = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|m(0) - (0) + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

である。

円と直線が共有点を持つ条件は $d \le 1$ なので、

$$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 1$$

両辺を2乗して、

$$\frac{4}{m^2 + 1} \le 1$$

$$4 \le m^2 + 1$$

$$3 \le m^2$$

$$m^2 \ge 3$$

したがって、

$$m \ge \sqrt{3} \quad \text{または} \quad m \le -\sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$m \le -\sqrt{3}$, $\sqrt{3} \le m$