与えられた円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点Pにおける接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題について接線を求めます。 (1) $x^2 + y^2 = 10$, P(3, 1) (2) $x^2 + y^2 = 13$, P(2, -3) (3) $x^2 + y^2 = 16$, P(4, 0) (4) $x^2 + y^2 = 5$, P(0, $-\sqrt{5}$)

1. 問題の内容

与えられた円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点Pにおける接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題について接線を求めます。

(1) $x^2 + y^2 = 10$, P(3, 1)

(2) $x^2 + y^2 = 13$, P(2, -3)

(3) $x^2 + y^2 = 16$, P(4, 0)

(4) $x^2 + y^2 = 5$, P(0, $-\sqrt{5}$)

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1 x + y_1 y = r^2$

で与えられます。各問題について、$x_1, y_1, r^2$ の値を上記の式に代入し、接線の方程式を求めます。

(1) $x_1 = 3$, $y_1 = 1$, $r^2 = 10$ より、接線の方程式は $3x + y = 10$

(2) $x_1 = 2$, $y_1 = -3$, $r^2 = 13$ より、接線の方程式は $2x - 3y = 13$

(3) $x_1 = 4$, $y_1 = 0$, $r^2 = 16$ より、接線の方程式は $4x + 0y = 16$。これを整理すると $4x = 16$ となり、$x = 4$

(4) $x_1 = 0$, $y_1 = -\sqrt{5}$, $r^2 = 5$ より、接線の方程式は $0x - \sqrt{5} y = 5$。これを整理すると $-\sqrt{5} y = 5$ となり、$y = -\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 10$

(2) $2x - 3y = 13$

(3) $x = 4$

(4) $y = -\sqrt{5}$