2桁の正の整数があります。この整数は、十の位の数と一の位の数の和の5倍に等しい。また、この整数の十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数は、もとの整数より9大きくなります。 (1) 十の位が $x$ 、一の位が $y$ である数を式で表しなさい。 (2) もとの整数を求めなさい。

はい、承知いたしました。問題を一つずつ解いていきます。

**問題４**

1. 問題の内容

2桁の正の整数があります。この整数は、十の位の数と一の位の数の和の5倍に等しい。また、この整数の十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数は、もとの整数より9大きくなります。

(1) 十の位が $x$ 、一の位が $y$ である数を式で表しなさい。

(2) もとの整数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 十の位が $x$ 、一の位が $y$ である2桁の整数は、$10x + y$ と表すことができます。

(2) 問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

* $10x + y = 5(x + y)$

* $10y + x = 10x + y + 9$

最初の式を整理します。

$10x + y = 5x + 5y$

$5x = 4y$

$x = \frac{4}{5}y$

2番目の式を整理します。

$10y + x = 10x + y + 9$

$9y - 9x = 9$

$y - x = 1$

$x = \frac{4}{5}y$を $y - x = 1$に代入します。

$y - \frac{4}{5}y = 1$

$\frac{1}{5}y = 1$

$y = 5$

$y = 5$を $x = \frac{4}{5}y$に代入します。

$x = \frac{4}{5} \cdot 5$

$x = 4$

したがって、求める整数は、$10x + y = 10 \cdot 4 + 5 = 45$です。

3. 最終的な答え

(1) $10x + y$

(2) 45

**問題5**

1. 問題の内容

右の図のような正方形ABCDで、点Pは、Aを出発して辺AB上をBまで動きます。また、点Qは、点PがAを出発するのと同時にDを出発し、Pと同じ速さで辺DA上をAまで動きます。点PがAから何cm動いたとき、△APQの面積が6cm²になるか求めなさい。正方形の一辺の長さは8cmです。

2. 解き方の手順

点PがAから$x$ cm動いたとすると、点QもDから$x$ cm動きます。

したがって、AP = $x$ cm、AQ = 8 - $x$ cmとなります。

△APQの面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$で表されるので、

$\frac{1}{2} \cdot x \cdot (8 - x) = 6$

この式を解きます。

$\frac{1}{2}(8x - x^2) = 6$

$8x - x^2 = 12$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x - 2)(x - 6) = 0$

$x = 2, 6$

点Pは辺AB上、点Qは辺DA上を動くので、$0 \le x \le 8$を満たす必要があります。$x=2, 6$はいずれもこの条件を満たします。

3. 最終的な答え

2cm、6cm

**問題３**

1. 問題の内容

8%の食塩水と14%の食塩水を混ぜて、10%の食塩水を900g作ります。

(1) 10%の食塩水900gの中には、何gの食塩が含まれているか。

(2) 2種類の食塩水をそれぞれ何gずつ混ぜればよいか。

2. 解き方の手順

(1) 10%の食塩水900gに含まれる食塩の量は、

$900 \times 0.10 = 90$ gです。

(2) 8%の食塩水を $x$ g、14%の食塩水を $y$ g混ぜるとします。

全体の量が900gなので、

$x + y = 900$　…①

食塩の量の合計は90gなので、

$0.08x + 0.14y = 90$　…②

①より、 $y = 900 - x$ なので、これを②に代入します。

$0.08x + 0.14(900 - x) = 90$

$0.08x + 126 - 0.14x = 90$

$-0.06x = -36$

$x = 600$

$x = 600$ を ① に代入すると、

$600 + y = 900$

$y = 300$

したがって、8%の食塩水は600g、14%の食塩水は300g混ぜればよいことになります。

3. 最終的な答え

(1) 90 g

(2) 8%の食塩水：600 g、14%の食塩水：300 g

**問題4**

1. 問題の内容

ある学校の合唱部の部員数は、去年は全員で35人だった。今年は、男子が30%増え、女子が20%減ったので、全員で38人になった。今年の男子、女子の部員数は、それぞれ何人か。

※去年の男子、女子の部員数は、それぞれx、yとする。

2. 解き方の手順

去年の男子の人数をx、女子の人数をyとすると、

$x + y = 35$ ...(1)

今年の男子の人数は、$1.3x$、今年の女子の人数は、$0.8y$となるので、

$1.3x + 0.8y = 38$ ...(2)

(1)より、$y = 35 - x$なので、これを(2)に代入すると、

$1.3x + 0.8(35 - x) = 38$

$1.3x + 28 - 0.8x = 38$

$0.5x = 10$

$x = 20$

$x = 20$を(1)に代入すると、

$20 + y = 35$

$y = 15$

したがって、去年の男子の人数は20人、去年の女子の人数は15人です。

今年の男子の人数は$1.3 \times 20 = 26$人、今年の女子の人数は$0.8 \times 15 = 12$人です。

3. 最終的な答え

男子：26人、女子：12人