与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$ (2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

2. 解き方の手順

(1) の解き方:

$x^2 + xy - 4x - y + 3$ を因数分解します。

$x$ について整理すると、

$x^2 + (y-4)x - (y-3)$

たすき掛けで因数分解することを考えます。

$(x+1)(x+3)$ だと $x^2+4x+3$ になるので、

$(x-1)$ と $(x-3)$ がヒントになりそうです。

ここで、$-y$ と $+3$ の組み合わせを考えると、

$(x + y - 3)(x - 1)$ で展開すると、$x^2 + xy - 3x - x - y + 3 = x^2 + xy - 4x - y + 3$ となり、与式と一致します。

(2) の解き方:

$x^2 + 3ax - 9a - 9$ を因数分解します。

$x$ について整理すると、

$x^2 + 3ax - (9a + 9)$

定数項に注目すると、$-9(a+1)$ となります。

$(x + p)(x + q)$ の形に因数分解できるとすると、$pq = -9(a+1)$ かつ $p+q = 3a$ です。

$x^2 + 3ax - 9a - 9 = x^2 + 3ax - 9(a+1) = x^2 + 3ax - 9a - 9$

ここで、$x^2+3ax-9a-9 = x^2 - 9 + 3ax - 9a = (x^2-9) + (3ax - 9a) = (x-3)(x+3) + 3a(x-3)$

$(x-3)$ でくくると、

$(x-3)(x+3+3a)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + y - 3)(x - 1)$

(2) $(x - 3)(x + 3a + 3)$