$(m^2 - 2m - 1)^2$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

$(m^2 - 2m - 1)^2$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $(A)^2$ の形と見て、$(A)^2 = A \times A$ であることを利用して展開します。

$A = m^2 - 2m - 1$ なので、$(m^2 - 2m - 1)^2 = (m^2 - 2m - 1)(m^2 - 2m - 1)$ となります。

次に、分配法則を用いて展開します。

$(m^2 - 2m - 1)(m^2 - 2m - 1) = m^2(m^2 - 2m - 1) - 2m(m^2 - 2m - 1) - 1(m^2 - 2m - 1)$

$= m^4 - 2m^3 - m^2 - 2m^3 + 4m^2 + 2m - m^2 + 2m + 1$

最後に、同類項をまとめます。

$m^4$ の項は $m^4$ のみ。

$m^3$ の項は $-2m^3 - 2m^3 = -4m^3$

$m^2$ の項は $-m^2 + 4m^2 - m^2 = 2m^2$

$m$ の項は $2m + 2m = 4m$

定数項は $1$

したがって、

$(m^2 - 2m - 1)^2 = m^4 - 4m^3 + 2m^2 + 4m + 1$

3. 最終的な答え

$m^4 - 4m^3 + 2m^2 + 4m + 1$