全体集合$U$を1桁の自然数全体の集合とし、$A = \{2, 3, 5, 8\}$, $B = \{5, 6, 7\}$, $C = \{3, 5, 6, 9\}$とします。 以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A \cup B}$ (2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $A \cap B \cap C$ (5) $A \cup B \cup C$ (6) $A \cap B \cap \overline{C}$

1. 問題の内容

全体集合$U$を1桁の自然数全体の集合とし、$A = \{2, 3, 5, 8\}$, $B = \{5, 6, 7\}$, $C = \{3, 5, 6, 9\}$とします。

以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A \cup B}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $A \cap B \cap C$

(5) $A \cup B \cup C$

(6) $A \cap B \cap \overline{C}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を具体的に書き下します。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$です。

(1) $\overline{A \cup B}$

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 4, 9\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A} = U - A = \{1, 4, 6, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 8, 9\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

ここでド・モルガンの法則を確認すると$\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$が成り立つことが期待されます。

(3) $\overline{A \cap B}$

$A \cap B = \{5\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $A \cap B \cap C$

$A \cap B = \{5\}$

$(A \cap B) \cap C = \{5\} \cap \{3, 5, 6, 9\} = \{5\}$

(5) $A \cup B \cup C$

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8\}$

$(A \cup B) \cup C = \{2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cup \{3, 5, 6, 9\} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(6) $A \cap B \cap \overline{C}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 4, 7, 8\}$

$A \cap B = \{5\}$

$(A \cap B) \cap \overline{C} = \{5\} \cap \{1, 2, 4, 7, 8\} = \emptyset$ (空集合)

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cup B} = \{1, 4, 9\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $A \cap B \cap C = \{5\}$

(5) $A \cup B \cup C = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(6) $A \cap B \cap \overline{C} = \emptyset$