円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=3, DA=2である。$cos(180^\circ - \theta) = -cos\theta$ を利用して、角Bを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=3, DA=2である。$cos(180^\circ - \theta) = -cos\theta$ を利用して、角Bを求めよ。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の性質より、対角の和は180度である。すなわち、$B + D = 180^\circ$である。

したがって、$D = 180^\circ - B$ となる。

余弦定理を用いて、三角形ABCと三角形ADCにおいて、ACの長さをそれぞれ角Bと角Dを用いて表す。

三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot cosB = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cosB = 34 - 30cosB$

三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2AD \cdot DC \cdot cosD = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot cos(180^\circ - B) = 13 - 12cos(180^\circ - B) = 13 + 12cosB$

よって、

$34 - 30cosB = 13 + 12cosB$

$21 = 42cosB$

$cosB = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$

したがって、$B = 60^\circ$

3. 最終的な答え

$B = 60^\circ$