直方体ABCD-EFGHにおいて、EF=$\sqrt{6}$, AD=1, AE=$\sqrt{3}$である。 (2) $\angle BED$を求めよ。 (3) $\triangle BED$の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、EF=$\sqrt{6}$, AD=1, AE=$\sqrt{3}$である。

(2) $\angle BED$を求めよ。

(3) $\triangle BED$の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(2) $\angle BED$を求める。

$\triangle ABE$, $\triangle EAD$, $\triangle ABD$に着目する。

$AB = EF = \sqrt{6}$

$AE = \sqrt{3}$

$AD = 1$

$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6+1} = \sqrt{7}$

$\triangle BED$において、余弦定理を用いると、

$BD^2 = BE^2 + DE^2 - 2 \cdot BE \cdot DE \cdot \cos \angle BED$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos \angle BED$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos \angle BED$

$7 = 13 - 12 \cos \angle BED$

$12 \cos \angle BED = 13 - 7$

$12 \cos \angle BED = 6$

$\cos \angle BED = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\angle BED = 60^\circ$

(3) $\triangle BED$の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot DE \cdot \sin \angle BED = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(2) $\angle BED = 60^\circ$

(3) $\triangle BED$の面積 $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$