問題7：三角形ABCにおいて、AB=4, AC=5, ∠BAC=60°とする。辺BCをt:(1-t)に内分する点をPとするとき、AP⊥BCとなるようなtの値を求めよ。 問題8：三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をM, 辺OBを3:4に内分する点をNとする。線分BMと線分ANの交点をP、直線OPと辺ABの交点をQとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とするとき、(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表せ。(2) OP:PQを求めよ。

1. 問題の内容

問題7：三角形ABCにおいて、AB=4, AC=5, ∠BAC=60°とする。辺BCをt:(1-t)に内分する点をPとするとき、AP⊥BCとなるようなtの値を求めよ。

問題8：三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をM, 辺OBを3:4に内分する点をNとする。線分BMと線分ANの交点をP、直線OPと辺ABの交点をQとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とするとき、(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表せ。(2) OP:PQを求めよ。

2. 解き方の手順

**問題7**

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

$\vec{AP} \perp \vec{BC}$ より、$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = 0$

$((1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0$

$(1-t)\vec{AB} \cdot \vec{AC} - (1-t)|\vec{AB}|^2 + t|\vec{AC}|^2 - t\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^\circ} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 10$

$(1-t) \cdot 10 - (1-t) \cdot 4^2 + t \cdot 5^2 - t \cdot 10 = 0$

$10 - 10t - 16 + 16t + 25t - 10t = 0$

$21t - 6 = 0$

$t = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

**問題8**

(1)

点Pは線分BM上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OM} = (1-s)\vec{b} + \frac{s}{2}\vec{a}$

点Pは線分AN上にあるので、実数$r$を用いて

$\vec{OP} = (1-r)\vec{OA} + r\vec{ON} = (1-r)\vec{a} + \frac{3r}{7}\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$\begin{cases}

\frac{s}{2} = 1-r \\

1-s = \frac{3r}{7}

\end{cases}$

$\begin{cases}

s = 2-2r \\

1-(2-2r) = \frac{3r}{7}

\end{cases}$

$-1+2r = \frac{3r}{7}$

$14r - 7 = 3r$

$11r = 7$

$r = \frac{7}{11}$

$\vec{OP} = (1-\frac{7}{11})\vec{a} + \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{11}\vec{b} = \frac{4}{11}\vec{a} + \frac{3}{11}\vec{b}$

(2)

点Qは直線OP上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = \frac{4k}{11}\vec{a} + \frac{3k}{11}\vec{b}$

点Qは直線AB上にあるので、実数$l$を用いて

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$\begin{cases}

\frac{4k}{11} = 1-l \\

\frac{3k}{11} = l

\end{cases}$

$\frac{4k}{11} = 1-\frac{3k}{11}$

$\frac{7k}{11} = 1$

$k = \frac{11}{7}$

$\vec{OQ} = \frac{11}{7} \vec{OP}$

$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{11}{7}\vec{OP} - \vec{OP} = \frac{4}{7}\vec{OP}$

$|\vec{PQ}| = \frac{4}{7}|\vec{OP}|$

$OP:PQ = 7:4$

3. 最終的な答え

問題7：$t = \frac{2}{7}$

問題8：(1) $\vec{OP} = \frac{4}{11}\vec{a} + \frac{3}{11}\vec{b}$ (2) $OP:PQ = 7:4$