問題11は、半径 $r$ の半円の花壇の周りに幅 $a$ の道があるとき、道の面積 $S$ が、道の真ん中を通る線の長さ $l$ と幅 $a$ の積 $S=al$ となることを証明する問題です。証明の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

問題11は、半径 $r$ の半円の花壇の周りに幅 $a$ の道があるとき、道の面積 $S$ が、道の真ん中を通る線の長さ $l$ と幅 $a$ の積 $S=al$ となることを証明する問題です。証明の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求めます。

大きい半円の半径は $r+a$ なので、面積は $\frac{1}{2}\pi (r+a)^2$ です。

小さい半円の面積は $\frac{1}{2}\pi r^2$ です。

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}\pi (r+a)^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$

$S = \frac{1}{2}\pi (r^2 + 2ar + a^2) - \frac{1}{2}\pi r^2$

$S = \frac{1}{2}\pi r^2 + \pi ar + \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$

$S = \pi ar + \frac{1}{2}\pi a^2$ ...(1)

これが空欄「あ」に当てはまります。

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求めます。

道の真ん中の円弧の半径は $r + \frac{1}{2}a$ なので、道の真ん中を通る線の長さ $l$ は

$l = \pi(r + \frac{1}{2}a)$

したがって $l = \pi r + \frac{1}{2} \pi a$となります。「い」には、$r + \frac{1}{2}a$が入ります。

ここで、$al$ を計算します。

$al = a(\pi r + \frac{1}{2}\pi a) = \pi ar + \frac{1}{2}\pi a^2$ ...(2)

これが空欄「あ」に当てはまります。

(1)と(2)より、$S = al$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

証明の空欄は以下のように埋まります。

- あ: $\pi ar + \frac{1}{2}\pi a^2$

- い: $r + \frac{1}{2}a$

- あ: $\pi ar + \frac{1}{2}\pi a^2$