座標平面上の3点 $P(1, 2)$, $Q(3, -2)$, $R(4, 1)$ を頂点とする平行四辺形の、もう1つの頂点となりうる点の座標を全て求める。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $P(1, 2)$, $Q(3, -2)$, $R(4, 1)$ を頂点とする平行四辺形の、もう1つの頂点となりうる点の座標を全て求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形は、向かい合う辺が平行で長さが等しい四角形である。したがって、与えられた3点を頂点とする平行四辺形は、以下の3つの場合が考えられる。

* $PQ$を1辺とする平行四辺形

* $PR$を1辺とする平行四辺形

* $QR$を1辺とする平行四辺形

それぞれのケースについて、残りの頂点の座標を求める。平行四辺形の性質として、「対角線の中点が一致する」ことを利用する。

ケース1：$PQ$を1辺とする平行四辺形の場合

$PQ$を1辺とするとき、もう一つの頂点を$S_1(x_1, y_1)$とおくと、対角線は$PR$と$QS_1$または$QR$と$PS_1$である。

* 対角線が$PR$と$QS_1$の場合：

$PR$の中点と$QS_1$の中点が一致する。中点の座標はそれぞれ

$(\frac{1+4}{2}, \frac{2+1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$

$(\frac{3+x_1}{2}, \frac{-2+y_1}{2})$

したがって、

$\frac{3+x_1}{2} = \frac{5}{2}$ より $x_1 = 2$

$\frac{-2+y_1}{2} = \frac{3}{2}$ より $y_1 = 5$

よって、$S_1(2, 5)$

* 対角線が$QR$と$PS_1$の場合：

$QR$の中点と$PS_1$の中点が一致する。中点の座標はそれぞれ

$(\frac{3+4}{2}, \frac{-2+1}{2}) = (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$

$(\frac{1+x_1}{2}, \frac{2+y_1}{2})$

したがって、

$\frac{1+x_1}{2} = \frac{7}{2}$ より $x_1 = 6$

$\frac{2+y_1}{2} = -\frac{1}{2}$ より $y_1 = -3$

よって、$S_1(6, -3)$

ケース2：$PR$を1辺とする平行四辺形の場合

$PR$を1辺とするとき、もう一つの頂点を$S_2(x_2, y_2)$とおくと、対角線は$PQ$と$RS_2$または$RQ$と$PS_2$である。

* 対角線が$PQ$と$RS_2$の場合：

$PQ$の中点と$RS_2$の中点が一致する。中点の座標はそれぞれ

$(\frac{1+3}{2}, \frac{2-2}{2}) = (2, 0)$

$(\frac{4+x_2}{2}, \frac{1+y_2}{2})$

したがって、

$\frac{4+x_2}{2} = 2$ より $x_2 = 0$

$\frac{1+y_2}{2} = 0$ より $y_2 = -1$

よって、$S_2(0, -1)$

ケース3：$QR$を1辺とする平行四辺形の場合

$QR$を1辺とするとき、もう一つの頂点を$S_3(x_3, y_3)$とおくと、対角線は$QP$と$RS_3$または$RP$と$QS_3$である。

* 対角線が$RP$と$QS_3$の場合：

$RP$の中点と$QS_3$の中点が一致する。中点の座標はそれぞれ

$(\frac{4+1}{2}, \frac{1+2}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$

$(\frac{3+x_3}{2}, \frac{-2+y_3}{2})$

したがって、

$\frac{3+x_3}{2} = \frac{5}{2}$ より $x_3 = 2$

$\frac{-2+y_3}{2} = \frac{3}{2}$ より $y_3 = 5$

よって、$S_3(2, 5)$

これら3つのケースで、$S_1$, $S_2$, $S_3$ が全て異なる点であれば、全てが解となる。

ベクトルを用いた解法もある。平行四辺形$PQRS$を考えると、$\vec{PS} = \vec{QR}$が成り立つ。$S = (x, y)$とすると、

$(x-1, y-2) = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$.

したがって、$x = 2$, $y = 5$ より、 $S=(2, 5)$.

平行四辺形$PRQS$を考えると、$\vec{PS} = \vec{RQ}$が成り立つ。$S = (x, y)$とすると、

$(x-1, y-2) = (3-4, -2-1) = (-1, -3)$.

したがって、$x = 0$, $y = -1$ より、 $S=(0, -1)$.

平行四辺形$PQSR$を考えると、$\vec{PS} = \vec{QS}$が成り立つ。誤り. $\vec{PQ} = \vec{RS}$が成り立つ。$S = (x, y)$とすると、

$(3-1, -2-2) = (4-x, 1-y)$

$(2, -4) = (4-x, 1-y)$

$2 = 4-x$ より $x=2$.

$-4 = 1-y$ より $y=5$.

$S(2,5)$.これはすでに求めた点。

平行四辺形$PRSQ$を考えると、$\vec{PR} = \vec{QS}$が成り立つ。$S = (x, y)$とすると、

$(4-1, 1-2) = (3-x, -2-y)$

$(3, -1) = (3-x, -2-y)$

$3 = 3-x$ より $x=0$.

$-1 = -2-y$ より $y=-1$.

$S(0,-1)$.これはすでに求めた点。

平行四辺形$SRPQ$を考えると、$\vec{SR} = \vec{PQ}$が成り立つ。$S = (x, y)$とすると、

$(4-x, 1-y) = (3-1, -2-2)$

$(4-x, 1-y) = (2, -4)$

$4-x = 2$ より $x=2$.

$1-y = -4$ より $y=5$.

$S(2,5)$.これはすでに求めた点。

平行四辺形$SPQR$を考えると、$\vec{SP} = \vec{RQ}$が成り立つ。$S = (x, y)$とすると、

$(1-x, 2-y) = (3-4, -2-1)$

$(1-x, 2-y) = (-1, -3)$

$1-x = -1$ より $x=6$.

$2-y = -3$ より $y=5$.

$S(2,5)$.これはすでに求めた点。

$P+R-Q= (1+4-3,2+1-(-2))=(2,5)$

$P+Q-R= (1+3-4,2-2-1)=(0,-1)$

$Q+R-P= (3+4-1,-2+1-2)=(6,-3)$

よって、求める点の座標は、(2, 5), (0, -1), (6, -3)である。

3. 最終的な答え

(2, 5), (0, -1), (6, -3)