直角二等辺三角形ABCに内接する円Oの半径を求める問題です。AB = BC = 10cmと与えられています。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCに内接する円Oの半径を求める問題です。AB = BC = 10cmと与えられています。

2. 解き方の手順

直角二等辺三角形ABCにおいて、AB = BC = 10cmなので、ACの長さは三平方の定理より、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ cmです。

円Oの半径を$r$とします。三角形ABCの面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ cm$^2$です。

また、三角形ABCの面積は、内接円の半径$r$と三角形の周の長さ$L$を用いて、$S = \frac{1}{2}rL$と表すこともできます。

三角形ABCの周の長さは、

$L = AB + BC + AC = 10 + 10 + 10\sqrt{2} = 20 + 10\sqrt{2}$ cmです。

したがって、

$50 = \frac{1}{2} r (20 + 10\sqrt{2})$

$100 = r (20 + 10\sqrt{2})$

$r = \frac{100}{20 + 10\sqrt{2}} = \frac{10}{2 + \sqrt{2}}$

ここで分母の有理化を行います。

$r = \frac{10(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{10(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{10(2 - \sqrt{2})}{2} = 5(2 - \sqrt{2}) = 10 - 5\sqrt{2}$ cm

3. 最終的な答え

円Oの半径は $10 - 5\sqrt{2}$ cmです。

選択肢の⑤が正解です。